ПРОСТЫЕ И СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА - Олимпиадные задачи по математике за 8-9 классы
Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Олимпиадные задачи по математике за 8-9 классы

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>

ПРОСТЫЕ И СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА

Вспомним соответствующие определения.

Натуральное число, большее 1, называется простым, если оно делится только на 1 и на само себя. Натуральное число называется составным, если оно имеет больше двух различных делителей.

Принято считать, что число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам. Отсюда следует, что множество натуральных чисел можно разбить на такие три подмножества: множество простых чисел, множество составных чисел и множество, содержащее единственный элемент 1.

Справедлива следующая теорема.

Любое натуральное число, большее 1, можно, и притом единственным образом, представить в виде произведения простых чисел.

Это предложение называется основной теоремой арифметики натуральных чисел.

Среди простых делителей натурального числа могут быть равные, и их произведение можно записать в виде степени. Тогда разложение натурального числа а на простые множители можно представить в следующем виде:

где -различные простые числа, -натуральные.

Пример 1:

Натуральные числа а и b таковы, что 31a=54b. Докажите, что число а + b составное.

Так как число 31а делится на 54 и числа 31 и 54 -- взаимно простые, то а делится на 54: а = 54n, где nN. Тогда 31•54•n = 54b, b= 31n.

Отсюда a+b=54n+31n=85n, а следовательно, число а + b является составным.

Пример 2:

Найдите все натуральные n, при которых число а2- 10a + 21 простое.

Разложим этот квадратный трехчлен на линейные множители:

а2- 10a + 21=(a-3)(a-7)

Отсюда видно, что данное число, вообще говоря, составное. А когда оно простое? Когда один из множителей равен 1, а другой -- простому числу или когда один из них равен -- 1, а другой равен --p, где число р -- простое. Переберем все случаи.

1)Пусть a-3= 1.

Тогда а = 4, откуда а -7 = -3. Получилось, что число а2 - 10a + 21 отрицательно. Значит, этот случай невозможен.

2)Пусть a-7= 1.

Тогда а = 8, а - 3 = 5, где 5 -- число простое. Следовательно, значение а = 8 удовлетворяет требованию задачи.

3) Положим а-3 = -1.

В этом случае а = 2, а-7 = -5. Так как число 5 -- простое, то значение а = 2 также

подходит.

4) Пусть а-7 = -1.

Тогда а = 6, а-3 = 3. Поскольку здесь (а -- 3)(а -- 7) < 0, то этот случай невозможен.

Ответ:

8, 2

Задачи:

1. Простое число разделено на 21 с остатком. Найдите все значения остатка, являющиеся составными числами.

Ответ:

4, 8, 10, 16, 20

2. Может ли быть составным числом остаток от деления простого числа на а) 30 б) 60

Ответ:

а) не может б) может, если остаток равен 49

3. Простое или составное число 280+380?

Ответ:

составное

4. Натуральные числа a, b, c, d таковы, что ab=cd. Может ли число a+b+c+d быть простым?

Ответ:

не может

5. Является ли число 49+610+320 простым?

Ответ:

является

6. Найти такое простое число p, что p2+9 тоже простое.

Ответ:

р=2

7. Простым или составным является число 202007+1?

Ответ:

составным

8. Найти все целые n, при которых модуль числа n2-7n+10--число простое.

Ответ:

3, 4

9. Найти все натуральные n, при которых число n4+4 составное.

Ответ:

все n?1

10. Найти все целые х, для которых 8•3-12•2+6х-217 простое число.

Ответ:

при х=4

11. На какое наибольшее число натуральных слагаемых можно разложить число 96 так, чтобы все слагаемые были больше 1 и попарно взаимно просты?

Ответ:

на 7

12. Доказать, что для любого натурально n найдется такое число а, что an+4 составное.

Указание:

достаточно взять а=n+4

13. P и Q--различные простые числа. Сколько делителей у числа

а) PQ б) P2Q в) P2Q2 г) PnQm?

Ответ:

а) 4 б) 6 в) 9 г) (n+1)(m+1)

14. P--простое число. Сколько существует натуральных чисел

а) меньших P и взаимно простых с ним

б) меньших P2 и взаимно простых с ним

Ответ:

а) условия выполняются для Р-1 числа б) выполняются для Р(Р-1) числа

15. Натуральные числа а и b удовлетворяют условию 15а=32b. Может ли число а-b быть простым?

Ответ:

Может, если а=32, b=15

 
Перейти к загрузке файла
<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>