РАЙОННЫЕ ОЛИМПИАДЫ, ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ. ПРИНЦИП КРАЙНЕГО - Олимпиадные задачи по математике за 8-9 классы
Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Олимпиадные задачи по математике за 8-9 классы

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>

РАЙОННЫЕ ОЛИМПИАДЫ

ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ. ПРИНЦИП КРАЙНЕГО

Принцип крайнего.

Особые, крайние объекты часто служат «краеугольным камнем» решения.

Так, например, рассматривают наибольшее число, ближайшую точку, угловую точку, вырожденную окружность, предельный случай. Поэтому полезно сразу рассматривать особые, крайние объекты. В задачах на метод крайнего работает метод минимального контрпримера: допустим, утверждение задачи неверно. Тогда существует минимальный в некотором смысле контрпример. И если окажется, что его можно уменьшить, то получится искомое противоречие.

Принцип Дирихле.

Принцип Дирихле (по имени П.Г.Л.Дирихле) принцип ящиков--предложение удовлетворяющее, что в случае m>n при отнесении каждого из m предметов к одному из n классов хотя бы в один класс попадет не менее двух предметов. Это чрезвычайно простое предложение применяется при доказательстве многих важных теорем теории чисел, относящихся к приближению иррациональных чисел рациональными, в доказательстве трансцендентных чисел и других вопросах.

Пример:

В магазин привезли 25 ящиков с тремя разными сортами яблок (в каждом ящике яблоки только одного сорта). Доказать, что среди них есть по крайней мере 9 ящиков с яблоками одного и того же сорта.

25 ящиков-«кроликов» рассадим по трем клеткам-сортам. Так как 25 = 3 · 8 + 1, то применим «обобщенный принцип Дирихле» для N= 3, k = 8 и получим, что в какой-то клетке-сорте не менее 9 ящиков.

Задачи

1. Дано 8 различных натуральных чисел, каждое из которых не больше 15. Докажите, что среди их положительных попарных разностей есть три одинаковых.

Указание:

Здесь необходимо использовать дополнительное соображение: в клетке с номером 14 может сидеть не более одного кролика, ведь число 14 может быть записано только как разность двух натуральных чисел, не превосходящих 15, лишь одним способом: 14 = 15-1

2. Вшколе 400 учеников. Докажите, что хотя бы двое из них родились в один день года.

3. На Земле океан занимает больше половины площади поверхности. Докажите, что в мировом океане можно указать две диаметрально противоположные точки.

Указание:

Отразите океан симметрично относительно центра Земли. Сумма площадей океана и его образа превышает площадь земной поверхности

4. На собеседование пришли 65 школьников. Им предложили 3 контрольные работы. За каждую контрольную ставилась одна из оценок: 2, 3, 4 или 5.Верно ли, что найдутся два школьника, получившие одинаковые оценки на всех контрольных?

Ответ:

верно

5. В каждой клетке шахматной доски записано число. Оказалось, что любое число равно среднему арифметическому чисел, записанных в соседних (по стороне) клетках. Докажите, что все числа равны.

Указание:

рассмотрите наибольшее из чисел

8. Из точки внутри выпуклого многоугольника опускают перпендикуляры на его стороны или их продолжения. Докажите, что хотя бы один перпендикуляр попадёт на сторону.

Указание:

рассмотрите ближайшую точку границы.

9. В квадрате со стороной 10 отметили 201 точку. Докажите, что какие-то три выбранных точки можно накрыть квадратом со стороной 1.

Указание:

нужно разбить квадрат на 100 квадратов со стороной 1

10. Десять команд играют в футбольном турнире, проходящем в один круг. Докажите, что в любой момент найдутся две команды, сыгравшие в этом турнире одинаковое количество матчей.

 
Перейти к загрузке файла
<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>