ИНВАРИАНТЫ И РАСКРАСКИ - Олимпиадные задачи по математике за 8-9 классы
Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Олимпиадные задачи по математике за 8-9 классы

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>

ИНВАРИАНТЫ И РАСКРАСКИ

Инвариант--величина, которая не изменяется в результате некоторых операций (например, разрезание и перестановка частей фигур не меняет суммарной площади). Если инвариант различает два положения, то от одного нельзя перейти к другому. В качестве инварианта может использоваться чётность или раскраска.

Говорят, что фигура покрашена в несколько цветов, если каждой точке фигуры приписан определённый цвет. Бывают задачи, где раскраска уже дана, например для шахматной доски, бывают задачи, где раскраску с данными свойствами нужно придумать, и бывают задачи, где раскраска используется как идея решения.

Пример 1:

Из шахматной доски вырезали две противоположные угловые клетки. Докажите, что оставшуюся фигуру нельзя разрезать на «домино» из двух клеток. Каждая фигура «домино» содержит одну белую и одну чёрную клетку. Но в нашей фигуре 32 чёрных и 30 белых клеток (или наоборот).

Пример 2:

Можно ли круг разрезать на несколько частей, из которых сложить квадрат? (Разрезы это участки прямых и дуги окружностей.)

Рассмотрим инвариант: разность сумм длин вогнутых и выпуклых граничных дуг всех частей. Эта величина не изменяется при разрезании одной части на две и при складывании одной части из двух. Для единичного круга этот инвариант равен 2, а для квадрата--нулю. Поэтому «квадратура круга» невозможна.

Задачи:

1. Можно ли доску 10х10 разрезать на прямоугольники 4х4?

Ответ:

нельзя

2. Можно ли покрыть шахматную доску доминошками (прямоугольниками 1х2) так, чтобы свободными остались только клетки а1 и h8?

Ответ:

нельзя

3. Можно ли расставить числа от 1 до 9 в клетки квадраты 3х3 так, что сумма любых двух чисел, стоящих в соседних клетках (имеющих общую сторону), была простым числом?

Ответ:

нельзя

4. Написанное на доске четырехзначное число можно заменить на другое, прибавить к двум его соседним цифрам по единице, если ни одна из этих цифр не ровна 9, либо вычтя из соседних двух цифр по единице, если ни одна из них не ровна 0. Можно ли с помощью таких операций из числа 1234 получить число 2002?

Ответ:

нельзя

5. На доске написаны числа 1, 2 и 4. Разрешается стереть с доски два числа а и b, а вместо них записать числа и . Можно ли с помощью таких операций получить на доске числа , 2 и 3?

Ответ:

нельзя

6. На доске были написаны три числа. Когда их стерли и написали их произведение, сумму и сумму их попарных произведений, оказалось, что на доске снова написаны те же числа. Какие числа могли быть первоначально написаны на доске?

Ответ:

-1, -1 и 1 или 0, 0 и х, где х--любое действительное число

7. Можно ли разрезать квадрат на несколько равных прямоугольных треугольников с острым углом 30°?

Ответ:

нельзя

8. Вася отметил 10 клеток в квадрате 10 х 10. Всегда ли Петя может вырезать из этого квадрата по линиям сетки 20 фигурок вида так, чтобы они не содержали отмеченные клетки? (Петя может вырезать фигурки разных типов.)

Ответ:

не всегда

9. Куб 1x1x1 полностью оклеили шестью квадратами общей площадью 6. Обязательно ли все эти квадраты равны?

Ответ:

не обязательно

10. Дан куб 6 Ч 6 Ч 6. Найдите максимально возможное число параллелепипедов

4 Ч 1 Ч 1 (со сторонами параллельными сторонам куба), которые можно поместить в этот куб без пересечений.

Ответ:

52

 
Перейти к загрузке файла
<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>