ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ, ФУНКЦИИ - Олимпиадные задачи по математике за 8-9 классы
Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Олимпиадные задачи по математике за 8-9 классы

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>

ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ

Алгебраическим выражением называется совокупность конечного количества чисел, обозначенных буквами или цифрами, соединенных между собой знаками алгебраических действий и знаками последовательности этих действий (скобками).

Алгебраическое выражение, в котором указаны только действия сложения, вычитания, умножения и возведения в степень с натуральным показателем, называют целым рациональным выражением. Если кроме указанных действий входит действие деления, то выражение называют дробно-рациональным.

Целые рациональные и дробно-рациональные выражения вместе нациваются рациональными. Если входит еще и действие извлечения корня, то такое выражение называют иррациональным.

Числовым значением алгебраического выражения при заданных числовых значениях букв называют тот результат, который получится после замены букв их числовыми значениями и выполнения указанных в выражении действий.

Тождественным преобразованием алгебраического выражения на множестве M ? D(E) называется замена этого выражения на тождественно равное ему на множестве M

Пример:

Определить, являются ли выражения A и B тождественно равными на множестве M.

a) Так как на множестве M, то, применив формулу сокращенного умножения, получим:

Условие a > b > 0 влечет и, следовательно, Отсюда получаем, что Таким образом, выражения A и B тождественно равны на множестве M.

b) Подобно предыдущему примеру

При преобразованиях учитывается, что, если то , и

Задачи:

1. Упростить выражение

Ответ:

1

2. Сократить дробь

Ответ:

3. Упростить выражение

Ответ:

4. Упростить выражение

Ответ:

27

5. Сократить дробь

Ответ:

6. Освободиться от корня в знаменателе дроби

Ответ:

7. Упростить выражение

Ответ:

8. Найдите наименьшее значение выражения 3х2+3у2+6ху+2х+2у+3

Ответ:

9. Упростить выражение: ( ++2·

Ответ:

2

10. Упростить выражение: :

Ответ:

х

ФУНКЦИИ

Функцией, заданной (или определенной) на некотором множестве X, называется соответствие, в силу которого любой элемент x множества X определяет некоторый (соответствующий ему) объект f(x).

Множество всех тех значений, которые принимает аргумент  функции , называется областью определения этой функции.

Множество всех тех значений, которые принимает сама функция , называется областью значений (изменения) этой функции.

Функция называется четной, если при всех значений  из области определения этой функции .

Функция называется нечетной, если при всех значений  из области определения этой функции .

Область определения четной и нечетной функции симметрична относительно начала координат.

Функция  называется возрастающей (убывающей) на данном промежутке, если при произвольных двух различных значениях аргумента, из данного промежутка, большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции.

Функция  называется периодической, с периодом , где , если значение функции не изменяется при прибавлении числа  к любому допустимому значению аргумента: .

Функция  называется ограниченной, если можно указать такое положительное число , что  для всех значений  из области определения функции. Если же точка  не существует, то функция называется неограниченной.

Пример:

Найти область изменения функции: .

Первый способ. Область определения данной функции . Для нахождения области изменения удобно данную функцию записать в таком виде: .

Дробь  принимает в области определения функции всевозможные значения, кроме нуля. Следовательно, областью изменения данной функции является множество всех действительных чисел, кроме, .

Второй способ. Разрешают данное уравнение функции относительно . Получают . Откуда следует, что  может быть любым действительным числом, кроме 2.

Задачи:

1. На рисунке изображен график функции у = ах2 + bх + с. Указать знаки коэффициентов а, b и с.

Ответ:

а>0, b<0, c<0

2. Найти область определения функции

Ответ:

D(y)=(, -3)(2, +?)

3. Найти наименьшее значение функции

Ответ:

t= и у=-3,75

4. Найти наименьшее значение функции

Ответ:

унаим.=у()=-

5. Почему на приведенном рисунке изображена невозможная ситуация?

Ответ:

Очевидно, что координата точки пересечения прямой с осью ОХ находится из условия

2ах + b = 0, откуда х = -что совпадает с абсциссой вершины параболы. Поскольку эти две точки не совпадают, то такая ситуация невозможна.

6. Найти расстояние между осью параболы у= -х2 -7х + 2 и осью Оу.

Ответ:

-3,5

7. При каком значениит, график функции у=2х2- Зх+17+m имеет одну общую точку с осью Ох?

Ответ:

m=-15

8. На рисунке изображен график функции у = х3 - х2 - 4х + 4. Найти координаты точек М, N и К.

Ответ:

M(-2, 0), N(0, 4), K(2, 0)

9. Построить график функции

Ответ:

10. Найти наименьшее целое положительное число из области определения функции

Ответ:

3

 
Перейти к загрузке файла
<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>