ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ, ЧИСЛОВЫЕ РЕБУСЫ, ЧЕТНЫЕ И НЕЧЕТНЫЕ ЧИСЛА, ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ - Олимпиадные задачи по математике за 8-9 классы
Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Олимпиадные задачи по математике за 8-9 классы

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>

ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ

ЧИСЛОВЫЕ РЕБУСЫ

1. Решите ребусы:

а) РЕКА * 7 = МОРЕ; б) НАЛИМ * 4 = ЛИМАН; в) ОКУНЬ * 8 = СУДАК.

Ответ:

а) 1402·7=9814 б) 123958·4=95832 в) 10295·8=82360

2. Восстановите запись:

Ответ:

12345679·9=111111111

3. Число БАОБАБ, где одинаковые буквы означают одинаковые цифры, разные буквы -- разные цифры, делится на 101. Какое это число?

Ответ:

910919

4. Докажите неравенство: ДВА * ШЕСТЬ < ДВАДЦАТЬ, где одинаковые буквы означают одинаковые цифры, разные буквы -- разные цифры.

Ответ: ДВА·ШЕСТЬ<ДВА·105< ДВА·105+ДЦАТЬ=ДВАДЦАТЬ

5. Числа ТРИ, СТИХ и СПОРТ, где одинаковые буквы означают одинаковые цифры, разные буквы -- разные цифры, являются соответственно квадратом, кубом и четвертой степенью некоторых натуральных чисел. Что это за числа?

Ответ:

ТРИ=169, СТИХ=2197, СПОРТ=28561

ЧЕТНЫЕ И НЕЧЕТНЫЕ ЧИСЛА

1. Докажите, что сумма и разность любых двух целых чисел имеют одинаковую четность.

Указание:

рассмотреть 3 случая: 1) а и b четны 2) а и b нечетны 3) а четно и b нечетно

2. Найдите все целые значения а, при которых число х3 + ах2 + 5х + 9 нечетно для всех целых значений х.

Ответ:

все четные а

3. На семи карточках написали числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Затем карточки перевернули, перемешали и на обратных сторонах написали те же числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Числа, написанные на обеих сторонах каждой карточки, сложили и полученные суммы перемножили. Четно или нечетно полученное произведение?

Ответ:

четно

4. Какое наибольшее количество натуральных чисел можно записать в строку так, чтобы сумма любых трех соседних чисел была четной, а сумма любых четырех соседних чисел нечетной?

Ответ:

5

5. Сумма номеров домов одного квартала равна 99, а соседнего квартала той же улицы -- 117. Найдите номера всех домов этих кварталов.

Ответ:

31, 33, 35, 37, 39, 41

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ

1. Найдите такое трехзначное число, делящееся на 27, что при любой перестановке его цифр получается число, также делящееся на 27. Укажите все такие числа.

Ответ: 999

2. Использовав цифры от 1 до 9 по одному разу, составьте наименьшее девятизначное число, делящееся на 11.

Ответ:

123475869

3. Можно ли из цифр от 1 до 6 составить шестизначное число с различными цифрами, делящееся на 11?

Ответ:

нельзя

4. Можно ли из цифр от 0 до 9 составить десятизначное число с различными цифрами, делящееся на 1980?

Ответ:

можно, например, 9876523140

5. Доказать, что при любом натуральном n число 55n+1+45n+2+35n делится на 11.

Указание:

выполнить преобразование заданного выражения. Принять во внимание бином Ньютона n-ой степени

 
Перейти к загрузке файла
<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>