НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ И НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ, ПРОСТЫЕ И СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА, ВОССТАНОВЛЕНИЕ ЦИФР НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ, ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТКОМ, СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ - Олимпиадные задачи по математике за 8-9 классы
Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Олимпиадные задачи по математике за 8-9 классы

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>

НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ И НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ

1. Натуральные числа а, b и с таковы, что НОК(а, b)=60 и НОК(а, с)=270. Найти НОК(b, с).

Ответ:

540, 108

2. Чему равен наибольший общий делитель всех чисел 7n+2+82n+1 (n)?

Ответ:

57

3. При каком наименьшем натуральном п каждая из дробей

несократима?

Ответ: 28

4. Пусть a1, a2, ..., а10 -- натуральные числа, сумма которых равна 1001. Какое наибольшее значение может принимать их наибольший общий делитель?

Ответ:

91, когда 9 чисел равны 91, а десятое -182

ПРОСТЫЕ И СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА

1. Докажите, что любое число вида а=101010...101 (n нулей, n + 1 единица, где n > 1) составное.

Указание:

рассмотрите 2 случая 1) n-четно 2) n-нечетно

2. Какое наибольшее число простых чисел может быть среди 15 последовательных натуральных чисел, больших 2?

Ответ:

6

3. Составьте из простых чисел все возможные арифметические прогрессии с разностью 6 и числом членов, большим 4.

Ответ:

5, 11, 17, 23, 29

4. Найдите все простые p, при которых являются простыми числа:

Ответ:

а) 3 б) 3

5. Найдите все простые р, при которых являются простыми числа:

Ответ:

а) 2 б) 3 в) 3 г) 5 д) 5

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ЦИФР НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

1. Восстановите запись:

Ответ:

а) 1431:27=53 б) 100034:34=9094

2. Восстановите деление с остатком, где все девять цифр различны:

Ответ:

3. В примере на сложение ¦+¦+__=^^^ различные фигурки обозначают различные цифры. Какую цифру заменяет квадратик?

Ответ:

6

4. Расставить цифры 1, 2, …, 8 в клетки неполного квадрата так, чтобы получилась одинаковая сумма по горизонтали, вертикали и большой диагонали.

Ответ:

4

8

2

3

7

6

1

5

ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТКОМ

1. Какой остаток дает 46925 при делении на 21?

Ответ:

4

2. Найдите остаток от деления:

Ответ:

а) 25 б) 5 в) 1944

3. Найдите остаток от деления числа на 13, где число р-- простое.

Ответ:

р=2, р=3

4. Число 20012001 разбили на несколько слагаемых, являющихся натуральными числами, возвели эти слагаемые в куб и полученную сумму кубов разделили на 6. Какой получится остаток?

Ответ:

3

5. Найдите остаток отделения на 3 числа

Ответ:

2

СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

1. Найдите все пятизначные числа, которые являются точными квадратами и остаются точными квадратами при зачеркивании первой, двух первых или трех первых цифр.

Ответ:

81225, 34225, 27225, 15625, 75625

2. Четырехзначное число является точным квадратом. Если отбросить его последнюю цифру или две первые, то получаются также точные квадраты. Найдите все такие числа.

Ответ:

3249=572

3. Найдите все точные степени числа 2, которые встречаются среди чисел вида 6n + 8(n = 0, 1,2,...).

Ответ:

степень числа 2 с любым нечетным натуральным показателем, большим 1

4. Найдите все натуральные я, при которых числа вида n2 -- n+ 41 являются точными квадратами.

Ответ:

n=41

5. Найдите все натуральные я, при которых число 2n + 3n + 4n является точным квадратом.

Ответ:

n=1

 
Перейти к загрузке файла
<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>