ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ. ПРИНЦИП КРАЙНЕГО, ИНВАРИАНТЫ. РАСКРАСКИ. ЗАМОЩЕНИЯ - Олимпиадные задачи по математике за 8-9 классы
Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Олимпиадные задачи по математике за 8-9 классы

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>

ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ. ПРИНЦИП КРАЙНЕГО

1. Для каждого натурального числа n существует число вида 111... 100...О, делящееся на n. Доказать.

Указание:

рассмотреть числа вида 1, 11, 111,

2. 15 белок собрали 100 орехов. Докажите, что какие-то две из них собрали одинаковое количество орехов.

Указание:

предположить, что все белки собрали разное количество орехов. Затем рассмотреть их сумму

3. Кот Базилио пообещал Буратино открыть великую тайну, если он составит чудесный квадрат 6 Ч 6 из чисел +1, ?1, 0 так, чтобы все суммы по строкам, по столбцам и по большим диагоналям были различны. Можно ли составить такой квадрат?

Ответ:

нет

4. На собеседование пришли 65 школьников. Им предложили 3 контрольные работы. За каждую контрольную ставилась одна из оценок: 2, 3, 4 или 5. Верно ли, что найдутся два школьника, получившие одинаковые оценки на всех контрольных?

Ответ:

верно

5. Для любого 100-значного числа М найдется число, делящееся на 2006, последние цифры которого составляют число М. Доказать.

Указание:

рассмотреть числа, получающиеся из одного, двух, трех, …, 2006 чисел М, написанные подряд

ИНВАРИАНТЫ. РАСКРАСКИ. ЗАМОЩЕНИЯ

1. На чудо-яблоне растут бананы и ананасы. За один раз разрешается сорвать с неё два плода. Если сорвать два банана или два ананаса, то вырастет ещё один ананас, а если сорвать один банан и один ананас, то вырастет один банан. В итоге остался один плод. Какой это плод, если известно, сколько бананов и ананасов росло вначале?

Ответ:

если число бананов было четным, то--ананас, если--нечетным, то--банан

2. В одной клетке квадратной таблицы 4 Ч 4 стоит знак минус, а в остальных стоят плюсы. Разрешается одновременно менять знак во всех клетках, расположенных в одной строке или в одном столбце. Можно ли получить таблицу из одних плюсов, если мы будем проводить такую перемену знака.

Ответ:

нет

3. На 44 деревьях, расположенных по кругу, сидели по одному веселому чижу. Время от времени какие-то два чижа перелетают один по часовой стрелке, а другой (против, каждый) на соседнее дерево. Могут ли все чижи собраться на одном дереве?

Ответ:

нет

4. За какое наименьшее количество выстрелов можно с гарантией подбить четырехклеточный корабль в игре «Морской бой»?

Ответ:

не менее 24 выстрелов

5. Из шахматной доски вырезали две противоположные угловые клетки. Можно ли оставшуюся фигуру разрезать на домино из двух клеток?

Ответ:

нет

 
Перейти к загрузке файла
<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>