ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ, ПЛАНИМЕТРИЯ, ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ, МНОГОЧЛЕНЫ, ГРАФЫ, ФУНКЦИИ - Олимпиадные задачи по математике за 8-9 классы
Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Олимпиадные задачи по математике за 8-9 классы

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>

ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

1. Неисправный калькулятор не показывает цифру 1. Например, если набрать число 3131, то на дисплее будет 33(без пробелов). Сколько существует способов набрать на этом калькуляторе шестизначное число, чтобы на дисплее появилось число 2007?

Ответ:

15 способов

2. две школы соревнуются между собой по настольному теннису. В команду каждой школы входит по 5 спортсменов. Все матчи проводятся между парами так, чтобы каждая пара спортсменов из одной школы сыграла с каждой парой из другой школы. Сколько игр придется сыграть каждому спортсмену?

Ответ:

40 игр

3. Сколько существует путей из верхней точки гипотенузы в ее нижнюю точку, если можно передвигаться только по линиям стрелки на рисунке, причем только вниз вправо или вниз влево (параллельно гипотенузе)?

Ответ:

90 путей

4. На вечеринке 5 друзей собрались вручить друг другу подарки так, что каждый из них вручит ровно 1 подарок и получит ровно 1 подарок (разумеется, никто не должен получить свой собственный подарок). Сколько всего существует способов это сделать?

Ответ:

44 способов

5. Сколько существует шестизначных чисел, в записи которых есть хотя бы одна четная цифра?

Ответ:

884375

ПЛАНИМЕТРИЯ

3. Найдите координаты точки пересечения медиан треугольника с вершинами (1, 0), (2, 3), (3, 2)

Ответ:

(2,

4. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АD, ВЕ, СF. Найдите углы ДDEF, зная углы ДАВС.

Ответ:

яD=180°-2яА, яА=180°-2яВ, яF=180°-2яC

5. Как изменится сторона АВ ДАВС, если яС возрастает, а длины сторон АС и ВС остаются без изменений?

Ответ:

сторона АВ увеличивается

ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ

1. Упростите выражения:

а) б)

Ответ:

а) б) 4-7

2. Упростите выражения:

· + : (3+ )

Ответ:

3

3. Сократить дробь:

Ответ:

4. Вычислить:

Ответ:

2

5. Упростить выражение:

Ответ:

-

МНОГОЧЛЕНЫ

1. Разложить на множители многочлен n?+n+1

Ответ:

(nІ+n+1)(nі-nІ+1)

2. Разложить на множители многочлен x8+4xІ+4

Ответ:

4-2х3+2х2-2х+2)( х4+2х3+2х2+2х+2)

3. Доказать, что многочлен х8-х5+х2-х+1 положителен при всех действительных х.

Указание:

рассмотреть 2 случая 1) 0<х<1 2) х>1

4. Найдите все целые k, при которых значения дроби являются целыми числами

Ответ:

6, 2, 0, -4

5. Многочлен р(х) с целыми коэффициентами таков, что р(а)=1, р(b)=-1, где а и b--различные целые числа. Найти все значения, которые может принимать разность а-b.

Ответ:

-2, -1, 1, 2

ГРАФЫ

1. В углах шахматной доски 3 Ч3 стоят 4 коня: 2 белых (в соседних углах) и два чёрных. Можно ли за несколько ходов (по шахматным правилам) поставить коней так, чтобы во всех соседних углах стояли кони разного цвета?

Ответ:

нет

2. Выпишите в ряд цифры от 1 до 9 так, чтобы число, составленное из двух соседних цифр, делилось либо на 7, либо на 13.

Ответ:

784913526

3. Муровей ползет по проволочному каркасу куба. При этом он никогда не поворачивает назад. Может ли он побывать в одной из вершин куба 25 раз, а в остальных по 20?

Ответ:

нет

4. В каждой клетки доски 5х5 сидит жук. В некоторый момент все жуки переползают на соседние (по горизонтали или вертикали) клетки. Обязательно ли при этом останется пустая клетка?

Ответ:

нет

ФУНКЦИИ

1. Прямая у = х + 2 пересекает параболу у = х2 - Зх + 2 в двух точках А и В. Найдите на дуге АВ параболы точку, наиболее удаленную от прямой АВ.

Ответ:

точка дуги АВ параболы, наиболее удаленная от прямой у = х + 2, имеет координаты

x = 2, у = 0

2. Область определения функции f -- множество Z, а область значений -- множество

{-1; 1}. Функция обладает свойством: для любых целых а и b верно равенство f(a + b) = f(a) * f(b). Найдите f(0) и соотношение между f(-x) и f(x).

Ответ:

f(0)=1, f(-x)=

3. Область определения функции g -- множество Z и g(l) = ky где k Z. Функция обладает свойством: g(a + b) = g(a) + g(b) для любых целых а и b. Найдите g(0) и соотношение между g(-x) и g(x). Задайте функцию g формулой.

Ответ:

4. При каких значениях а любое значение функции f(x)= принадлежит промежутку (-9; 6)?

Ответ: а (-3; 6)

5. Известно, что функция четная и что она обращается в нуль при х = -2 и х = 3.

Существуют ли какие-либо другие значения аргумента, при которых (х) = 0?

Ответ:

2, -3

 
Перейти к загрузке файла
<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>