Формулы полной вероятности и вероятности гипотез, Формула Бернулли, Локальная формула Муавра-Лапласа - О теории вероятностей
Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow О теории вероятностей

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>

Формулы полной вероятности и вероятности гипотез

Пусть событие А может наступать только одновременно с одним из попарно несовместных событий Н1, Н2, ..., Нn, образующих полную группу. Тогда вероятность события А определятся по формуле полной вероятности:

Р(А) = Р(Н1)*P(А/Н1) + Р(Н2)*Р(А/Н2) +...+ Р(Нn)*Р(А/Нn), или Р(А)= У Р(Нi)*Р(А/Нi),

где события Н12, ...,Нn, - гипотезы, a P(A/Hi) - условная вероятность наступления события А при наступлении i-ой гипотезы (i=1, 2,..., n).

Условная вероятность гипотезы Нi при условии того, что событие А произошло, определяется по формуле вероятности гипотез или формуле Байеса (она позволяет пересмотреть вероятности гипотез после наступления события А):

Р(Нi/А)=(P(Hi)*P(A/Hi))/P(A).

Формула Бернулли

Пусть некоторый опыт повторяется в неизменных условиях n раз, причём каждый раз может либо наступить (успех), либо не наступить (неудача) некоторое событие А, где Р(А) = р - вероятность успеха, Р(А)=1-р= q - вероятность неудачи. Тогда вероятность того, что в к случаях из n произойдёт событие А вычисляется по формуле Бернулли

Pn(K) = Ckn-pk-qn-k.

Условия, приводящие к формуле Бернулли, называются схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли. Так как вероятности Рn(к) для раз личных значений к представляют собой слагаемые в разложении бинома Ньютона

(p+q)n=C0n*p0*qn+C1n*p1*qn-1+…+Ckn*pk*qn-k+…+Cnn*pn*q0,

то распределение вероятностей Pn(k), где 0?k?n, называется биноминальным.

Если в каждом из независимых испытаний вероятности наступления события А разные, то вероятность наступления события А к раз в n опытах определяется как коэффициент, при к-ой степени полинома

цn(Z)=Р(qi+piZ)=anZn+an-1Zn-1+…+a1Z1+a0, где цn(Z) - производящая функция.

Невероятнейшее число наступивших событий в схеме Бернулли - ко0 c К) определяется из следующего неравенства: np-q?k0?np+p.

Локальная формула Муавра-Лапласа

Если npq>10 , то

где вероятность р отлична от 0 и 1 (р>0,5), х =(k-np)/vnpq.

Для облегчения вычислений функция

представлена в виде таблицы (прил.1).

ц(х) - функция вероятности нормального распределения (рис. 6) имеет следующие свойства:

1) ц(х)-четная;

2) точки перегиба х = ± 1;

3) при х?5, ц(х)>0, поэтому функция ц(х) представлена в виде таблицы для 0?х?5 (прил.1).

Рис. Функция вероятности нормального распределения

 
Перейти к загрузке файла
<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>