Дифференциальная функция распределения и ее свойства, Числовые характеристики непрерывных случайных величин - О теории вероятностей
Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow О теории вероятностей

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>

Дифференциальная функция распределения и ее свойства

СВ X непрерывна, если ее интегральная функция непрерывна на всей числовой оси. СВ X непрерывна и имеет дифференциальную функцию, если ее интегральная функция непрерывна и дифференцируема всюду, за исключением конечного числа точек на любом конечном промежутке.

Дифференциальной функцией (функцией плотности вероятности) СВ X называется производная ее функции распределения: f(x)=F'(x).

С помощью дифференциальной функции можно получить формулу вероятности попадания СВ X в заданный интервал:

Свойства дифференциальной функции:

). f(x)?0;

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

1) Математическое ожидание НСВ X определяется по формуле

М(Х)= ?xf(x)dx. (2.7.1)

Если НСВ X определена на интервале (а; b), то

М(Х)= ?xf(x)dx.

2) Мода НСВ X будет определяться как максимум ее дифференциальной функции: Мо(Х) = max f (x).

3) Медиана определяется как значение случайной величины, которое делит площадь под дифференциальной функцией на две равные части. Me(X): P(x<Me(X))=P(x>Me(X))=1/2.

4). Дисперсия НВС

Все св-ва дисперсии и мат-го ожидания, установленные для ДСВ, сохраняется для НСВ.

Замечание. Если распределение симметрично, то его мода, медиана и математическое ожидание совпадают.

5). Моменты случайных величин.

Кроме характеристик положения и рассеяния существует ряд других числовых характеристик распределения, например, моменты.

Начальным моментом порядка s называется математическое ожидание степени s CB X: бs=M(Xs).

Для ДСВ:

При s=l:б1, = M(X) = mx, то есть, первый начальный момент - это математическое ожидание СВ.

Отклонение СВ от ее математического ожидания называется центрированной СВ X: X = Х-mх.

Центральным моментом порядка s СВ X называется математическое ожидание степени s, соответствующей центрированной СВ: мs=м(Xs)=M((x-M(X))s).

При вычислении центральных моментов пользуются формулами связи между центральными и начальными моментами:

м1=0,

м22-m2x,

м33-3mxб2+2m3x,

м44-4mxб3+6m2xб2-3m4x.

Обычно рассматривают первые четыре центральных момента:

1). м1=M(x-mx)=0 - мат-ое ожидание центрированной СВ равно нулю;

2). м2= M(x-mx)2=D(X) - второй центральный момент - это дисперсия;

3). м3= M(x-mx)3- третий центральный момент может служить для характеристики асимметрии, обычно рассматривают безразмерный коэффициент асимметрии

Sk=м33.

4). Четвёртый центральный момент

м4=M(x-mx)4,

может служить для характеристики “крутости” или островершинности распределения, описывающиеся с помощью эксцесса:

Ex=(м44)-3.

Основным моментом порядка s называется нормированный центральный момент порядка s:

rs= мss, то есть Sk=r3, Ex=r4-3

 
Перейти к загрузке файла
<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>