Формула Байеса (формула переоценки вероятности гипотез)

Пусть событие А может наступить лишь при условии появления одной из гипотез (см п.4.1). Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формуле Байеса:

(4.2)

Задачи

Задача №53. 70% населения обследуемого региона имеет только среднее образование, среди которых 10% безработных, 30% населения - с высшим образованием, среди них 2% безработных. Если выбранный наугад человек является безработным, то какова вероятность того, что он закончил ВУЗ?

Решение. В качестве гипотезы примем:

Н₁ = {выбранный наугад человек со средним образованием};

Н₂ = { выбранный наугад человек со высшим образованием }.

Р(Н₁) = 0,7; Р(Н₂) = 0,3.

Пусть соб. А = {выбранный наудачу человек безработный}, тогда

P(A/H₁) = 0,1, P(A/H₂) = 0,02.

Нужно определить P( ) по формуле (4.2).

Имеем:

Задача №54. На сборочный конвейер поступили детали с 3-х станков, производительность которых неодинакова: I-го - 50% плана, II-го - 30% плана, III-го - 20% плана. Вероятность получения годного узла равна 0,92, если деталь I-го станка, 0,95,если деталь со II-го станка, 0,82, если деталь с III-го станка. Определить вероятность того, что в сборку попали детали, изготовленные на первом станке, если узел годный.

Решение. А = { узел годный};

Н₁ = {деталь с I-го станка};

Н₂ = {деталь со II-го станка};

Н₃ = {деталь с III-го станка};

Р(Н₁)=0,5; Р(Н₂)=0,3; Р(Н₃)=0,2.

Р(А/Н₁)=0,92; Р(А/Н₂)=0,95; Р(А/Н₃)=0,82.

Задача №55. 30% приборов собирают специалисты высокой квалификации, 70% - средней квалификации. Надёжность работы прибора, собранного специалистом высокой квалификации - 0,9, а специалистом средней квалификации - 0,8. Взятый наугад прибор оказался надёжным. Определить вероятность того, что прибор собран специалистом высокой квалификации.

Решение.

Пусть событие А = {прибор работает безотказно}.

До проверки прибора возможны 2 гипотезы:

Н₁ = {прибор собран специалистом высокой квалификации};

Н₂ = { прибор собран специалистом средней квалификации }.

Р(Н₁) = 0,3, Р(Н₂) = 0,7.

Условные вероятности события А равны:

P(A/H₁) = 0,9, P(A/H₂) = 0,8.

Пусть событие А произошло, тогда

.

Задача №56. Из 10 учащихся, которые пришли на экзамен по математике (нужно было подготовить 20 вопросов), трое подготовились на отлично (выучив по 20 вопросов), четверо - на хорошо, выучив по 16 вопросов, двое - на удовлетворительно, выучив по 10 вопросов, один не готовился и может ответить на 5 вопросов из 20. В билете 3 вопроса. Первый ученик ответил на все 3 вопроса своего билета. Какова вероятность того, что этот ученик подготовился на отлично?

Решение. Пусть событие А = {1-й ученик ответил на 3 вопроса} и гипотезы:

Н₁ = {1-й ученик подготовлен на 5};

Н₂ = {1-й ученик подготовлен на 4};

Н₃ = {1-й ученик подготовлен на 3};

Н₄ = {1-й ученик подготовлен на 2}.

P(H₁) = 0,3; P(H₂) = 0,4; P(H₃) = 0,2; P(H₄) = 0,1

P(А/H₁) = 1 (событие {1-й ученик ответил на 3 вопроса, при условии, что он выучил 20 из 20}, является достоверным).

(вероятность правильного ответа на 1-й вопрос равна 16/20, на 2-й - 15/19, на 3-й - 14/18).

По формуле (4.2) имеем:

Вывод: учителю придётся предложить ученику ещё дополнительные вопросы.