Мера ограниченного замкнутого множества
Пусть F непустое ограниченное замкнутое множество и S наименьший сегмент, содержащий множество F. Как известно, множество CSF открыто и поэтому имеет определенную меру m[CSF]. Это дает возможность установить следующее определение.
Определение 1. Мерой непустого ограниченного замкнутого множества F называется число

где S=[A, B] есть наименьший сегмент, содержащий множество F.
Для пустого замкнутого множества меру определять не нужно, ибо такое множество открыто и мерой его мы уже условились считать число 0. Кроме того, непустое замкнутое ограниченное множество не может оказаться открытым множеством, так что нет надобности ставить вопрос о связи определений меры открытого и замкнутого множества.
Рассмотрим некоторые примеры.
1. F=[a, b]. В этом случае, очевидно, S=[a, b] и CsF=0, так, что m [a, b] = b - a, т. е. мера сегмента равна его длине.
2. F есть сумма конечного числа попарно не пересекающихся сегментов

Можно считать, что сегменты перенумерованы в порядке возрастания левых концов;--тогда, очевидно,
(k=1, 2, … n-1),
откуда следует, что



Стало быть,

т.е. мера суммы конечного числа попарно не пересекающихся сегментов равна сумме длин этих сегментов.

3. Пусть (Канторово совершенное множество). В этом случае

и откуда


т.е. Канторово совершенное множество имеет меру нуль. Этот факт интересно сопоставить с тем, что мощность множества есть с.
Теорема 1. Мера ограниченного замкнутого множества F не отрицательна.--

Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, если пользоваться обозначениями определения 1, то очевидно М--(А, В), и по теореме 1, откуда и следует, что
Лемма. Пусть F ограниченное замкнутое множество, содержащееся в интервале D,--тогда
D- [ CDF]
Д о к а з а т е л ь с т в о. Множество CDF - открыто, так что лемма имеет смысл. Пусть D=(A, B), а наименьший сегмент, содержащий множество F, есть S=[a, b] (рис.1.).
Тогда легко видеть, что СDF=CDS+CsF.--

Рис. 1
Оба слагаемые правой части открыты и взаимно не налегают. Значит, по свойству аддитивности меры (теорема 2) будет m[CDF]=m[CDS]+m[CsF].
Но, очевидно,CDS = (A, a) + (b, B), откуда
m[CD] = (a-A) + (B-b),
и следовательно,
m[CDF]=(B-A)-(b-a)+m[CsF],
что и доказывает лемму.
Теорема 2. Пусть F1 и F2 два ограниченных замкнутых множества. Если F1М F2, то mF1Ј--mF2.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть D--есть интервал, содержащий множество F2. Тогда легко проверить, что СDF1 --Й--CDF2, и, стало быть, m[CDF1 ]-- [ CDF2 ], так что дело сводиться к предыдущей лемме.
Следствие. Мера ограниченного замкнутого множества F есть точная верхняя граница мер всевозможных замкнутых множеств, содержащихся в F.
Теорема 3. Пусть F замкнутое множество, а G открытое ограниченное множество. Если FМ G, то mFmG.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть D--есть интервал, содержащий множество G. Легко видеть, что D=--G+CDF, откуда, в силу теоремы 3, получаем, что mDmG + m[CDF], и дело сводится к лемме.
Теорема 4. Мера открытого ограниченного множества G есть точная верхняя граница мер всевозможных замкнутых множеств, содержащихся в G.
Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу предыдущей теоремы, mG есть точная граница мер замкнутых множеств FМG, и надо доказать, что меры этих замкнутых множеств могут быть сколь угодно близки к mG.
Пусть составляющие интервалы множеств G суть(lk, mk )--(k=1, 2, …),--так что mG = (mk-----lk).
Возьмем произвольное e >--_--и найдем столь большое натуральное n, чтобы оказалось mk - lk)>--mG - .

Затем для каждого k (k=1, 2, …, n) найдем такой сегмент[ak, bk], чтобы было
[ak--bk,] М (lk, mk), m[ak, bk] > m(lk, mk) -,
(для чего достаточно взять такое hk, что

0 < hk < min[, ]
и положить ak = lk+hk, bk =mk - hk). Положим, наконец,
F0= k, bk].

Тогда, очевидно, F0 М G, F0 замкнуто и
mF0=(bk-ak) > (mk-lk) - > mG - e.

Так как e--произвольно мало, то теорема доказана.
Теорема 5. Мера замкнутого ограниченного множества F есть точная нижняя граница мер всевозможных открытых ограниченных множеств, содержащих F.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Как и выше, достаточно показать, что можно построить открытое ограниченное множество, содержащее множество F и имеющее меру, сколь угодно близкую к mF.
С этой целью возьмем интервал D,--содержащий множество F, и рассмотрим открытое множество CDF. Каково бы ни было e>_, мы можем (в силу теоремы 4) найти замкнутое множество Ф такое, что Ф М СDF, mФ>m[CDF]-----e.
Положим G0 = СDФ. Легко видеть, что G0 есть открытое множество, содержащее F. Вместе с тем
mG0 = mD - mФ < mD - m[CDF] + e = mF + e
Теорема доказана.
Теорема 6 . Пусть ограниченное замкнутое множество F есть сумма конечного числа взаимно не пересекающихся замкнутых множеств
F = (FkFk' = 0, k № k').
Тогда
mF =

Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, достаточно рассмотреть случай двух слагаемых F = F1+F2 (F1F2=0).
Возьмем произвольное e--> 0 и подберем два ограниченных открытых множества G1 и G2 так, чтобы оказалось

Gi Й Fi (i = 1, 2),
что возможно в силу предыдущей теоремы.
Положим G = G1 + G2.
Тогда G есть открытое ограниченное множество, содержащее множество F. Значит,
mF Ј mG Ј mG1 + mG2 < mF1 + mF2 + e.
В силу произвольности e,--отсюда следует что
mF Ј mF1 + mF2 (*)
С другой стороны, в силу теоремы отделимости, существуют такие открытые множества B1 и B2, что
Bi Й Fi (i = 1, 2), B1B2 = 0.
Отметив это возьмем произвольное e--> 0 и найдем такое открытое ограниченное множество G, что G Й F, mG < mF + e.
Тогда множества B1G и B2G суть открытые ограниченные взаимно не пересекающиеся множества, содержащие, соответственно, множества F1 и F2.
Значит,
MF1 + mF2 Ј m(B1G) + m(B2G) = m [B1G + B2G]
(здесь мы воспользовались аддитивностью меры для открытых множеств). Но B1G + B2G М--G, откуда
mF1+mF2 Ј--mG <--mF+e------
и в силу произвольности e,
mF1 + mF2 Ј--mF. (**)
Сопоставляя (*)--и (**),--получим
mF = mF1 + mF2,
что и требовалось доказать.