Мера ограниченного замкнутого множества

Пусть F непустое ограниченное замкнутое множество и S наименьший сегмент, содержащий множество F. Как известно, множество CSF открыто и поэтому имеет определенную меру m[CSF]. Это дает возможность установить следующее определение.

Определение 1. Мерой непустого ограниченного замкнутого множества F называется число

где S=[A, B] есть наименьший сегмент, содержащий множество F.

Для пустого замкнутого множества меру определять не нужно, ибо такое множество открыто и мерой его мы уже условились считать число 0. Кроме того, непустое замкнутое ограниченное множество не может оказаться открытым множеством, так что нет надобности ставить вопрос о связи определений меры открытого и замкнутого множества.

Рассмотрим некоторые примеры.

1. F=[a, b]. В этом случае, очевидно, S=[a, b] и CsF=0, так, что m [a, b] = b - a, т. е. мера сегмента равна его длине.

2. F есть сумма конечного числа попарно не пересекающихся сегментов

Можно считать, что сегменты перенумерованы в порядке возрастания левых концов;--тогда, очевидно,

(k=1, 2, … n-1),

откуда следует, что

Стало быть,

т.е. мера суммы конечного числа попарно не пересекающихся сегментов равна сумме длин этих сегментов.

3. Пусть (Канторово совершенное множество). В этом случае

и откуда

т.е. Канторово совершенное множество имеет меру нуль. Этот факт интересно сопоставить с тем, что мощность множества есть с.

Теорема 1. Мера ограниченного замкнутого множества F не отрицательна.--

Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, если пользоваться обозначениями определения 1, то очевидно М--(А, В), и по теореме 1, откуда и следует, что

Лемма. Пусть F ограниченное замкнутое множество, содержащееся в интервале D,--тогда

D- [ CDF]

Д о к а з а т е л ь с т в о. Множество CDF - открыто, так что лемма имеет смысл. Пусть D=(A, B), а наименьший сегмент, содержащий множество F, есть S=[a, b] (рис.1.).

Тогда легко видеть, что СDF=CDS+CsF.--

Рис. 1

Оба слагаемые правой части открыты и взаимно не налегают. Значит, по свойству аддитивности меры (теорема 2) будет m[CDF]=m[CDS]+m[CsF].

Но, очевидно,CDS = (A, a) + (b, B), откуда

m[CD] = (a-A) + (B-b),

и следовательно,

m[CDF]=(B-A)-(b-a)+m[CsF],

что и доказывает лемму.

Теорема 2. Пусть F1 и F2 два ограниченных замкнутых множества. Если F1М F2, то mF1Ј--mF2.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть D--есть интервал, содержащий множество F2. Тогда легко проверить, что СDF1 --Й--CDF2, и, стало быть, m[CDF1 ]-- [ CDF2 ], так что дело сводиться к предыдущей лемме.

Следствие. Мера ограниченного замкнутого множества F есть точная верхняя граница мер всевозможных замкнутых множеств, содержащихся в F.

Теорема 3. Пусть F замкнутое множество, а G открытое ограниченное множество. Если FМ G, то mFmG.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть D--есть интервал, содержащий множество G. Легко видеть, что D=--G+CDF, откуда, в силу теоремы 3, получаем, что mDmG + m[CDF], и дело сводится к лемме.

Теорема 4. Мера открытого ограниченного множества G есть точная верхняя граница мер всевозможных замкнутых множеств, содержащихся в G.

Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу предыдущей теоремы, mG есть точная граница мер замкнутых множеств FМG, и надо доказать, что меры этих замкнутых множеств могут быть сколь угодно близки к mG.

Пусть составляющие интервалы множеств G суть(lk, mk )--(k=1, 2, …),--так что mG = (mk-----lk).

Возьмем произвольное e >--_--и найдем столь большое натуральное n, чтобы оказалось mk - lk)>--mG - .

Затем для каждого k (k=1, 2, …, n) найдем такой сегмент[ak, bk], чтобы было

[ak--bk,] М (lk, mk), m[ak, bk] > m(lk, mk) -,

(для чего достаточно взять такое hk, что

0 < hk < min[, ]

и положить ak = lk+hk, bk =mk - hk). Положим, наконец,

F0= k, bk].

Тогда, очевидно, F0 М G, F0 замкнуто и

mF0=(bk-ak) > (mk-lk) - > mG - e.

Так как e--произвольно мало, то теорема доказана.

Теорема 5. Мера замкнутого ограниченного множества F есть точная нижняя граница мер всевозможных открытых ограниченных множеств, содержащих F.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Как и выше, достаточно показать, что можно построить открытое ограниченное множество, содержащее множество F и имеющее меру, сколь угодно близкую к mF.

С этой целью возьмем интервал D,--содержащий множество F, и рассмотрим открытое множество CDF. Каково бы ни было e>_, мы можем (в силу теоремы 4) найти замкнутое множество Ф такое, что Ф М СDF, mФ>m[CDF]-----e.

Положим G0 = СDФ. Легко видеть, что G0 есть открытое множество, содержащее F. Вместе с тем

mG0 = mD - mФ < mD - m[CDF] + e = mF + e

Теорема доказана.

Теорема 6 . Пусть ограниченное замкнутое множество F есть сумма конечного числа взаимно не пересекающихся замкнутых множеств

F = (FkFk' = 0, k № k').

Тогда

mF =

Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, достаточно рассмотреть случай двух слагаемых F = F1+F2 (F1F2=0).

Возьмем произвольное e--> 0 и подберем два ограниченных открытых множества G1 и G2 так, чтобы оказалось

Gi Й Fi (i = 1, 2),

что возможно в силу предыдущей теоремы.

Положим G = G1 + G2.

Тогда G есть открытое ограниченное множество, содержащее множество F. Значит,

mF Ј mG Ј mG1 + mG2 < mF1 + mF2 + e.

В силу произвольности e,--отсюда следует что

mF Ј mF1 + mF2 (*)

С другой стороны, в силу теоремы отделимости, существуют такие открытые множества B1 и B2, что

Bi Й Fi (i = 1, 2), B1B2 = 0.

Отметив это возьмем произвольное e--> 0 и найдем такое открытое ограниченное множество G, что G Й F, mG < mF + e.

Тогда множества B1G и B2G суть открытые ограниченные взаимно не пересекающиеся множества, содержащие, соответственно, множества F1 и F2.

Значит,

MF1 + mF2 Ј m(B1G) + m(B2G) = m [B1G + B2G]

(здесь мы воспользовались аддитивностью меры для открытых множеств). Но B1G + B2G М--G, откуда

mF1+mF2 Ј--mG <--mF+e------

и в силу произвольности e,

mF1 + mF2 Ј--mF. (**)

Сопоставляя (*)--и (**),--получим

mF = mF1 + mF2,

что и требовалось доказать.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   Скачать   След >