Внешняя и внутренняя меры ограниченного множества
Определение 1. Внешней мерой m*E ограниченного множества E называется точная нижняя граница мер всевозможных открытых ограниченных множеств, содержащих множество E:
Очевидно, для всякого ограниченного множества E cуществует внешняя мера, причем 0 Ј m*E < +Ґ.
Определение 2. Внутренней мерой m*E ограниченного множества E называется точная верхняя граница мер всевозможных замкнутых множеств, содержащихся в множестве E:
m*E=.
Очевидно, что всякое ограниченное множество E имеет внутреннюю меру, причем 0 Ј m*E < +Ґ.
Теорема 1. Если G есть открытое ограниченное множество, то
m*G = m*G = mG.
Теорема вытекает из следствия теоремы 1 и теоремы 4.
Теорема 2. Если F есть замкнутое ограниченное множество, то
m*F = m*F = mF.
Теорема вытекает из следствия теоремы 2 и теоремы 5.
Теорема 3. Для всякого ограниченного множества Е
m*E Ј m*E.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть G ограниченное открытое множество, содержащее множество Е. Какое бы замкнутое подмножество F множества Е ни взять, будет F М--G и, в силу теоремы 3, mF Ј--mG. Отсюда m*E Ј--mG. Но так как это верно для всякого открытого ограниченного множества G, содержащего Е, то m*E Ј--m*E, что и требовалось доказать.
Теорема 4. Пусть A и B суть ограниченные множества. Если A М--В, то
m*A Ј--m*В, m*A Ј--m*B.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Оба неравенства доказываются аналогично. Остановимся для примера на первом из них.
Пусть S есть множество, состоящее из мер всевозможных замкнутых подмножеств множества А, а Т такое же множество для множества В. Тогда m*A = sup S, m*B = sup T.
Пусть F есть замкнутое подмножество А, тогда и подавно F является подмножеством множества В. Отсюда следует, что S М--T, и теорема вытекает из того известного факта, что точная верхняя граница подмножества какого-либо множества не превосходит точной верхней границы самого этого множества.
Теорема 5. Если ограниченное множество Е есть сумма конечного числа или счетного множества множеств Еk
E=, то m*EЈ.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Теорема тривиальна в случае расходимости ряда . Предположим, что этот ряд сходится. Взяв произвольное e--> 0, мы можем найти такие открытые ограниченные множества Gk, что
GkЙEk, mGk<m*Ek+ (R=1, 2, 3, …).
Назовем через D--какой-нибудь интервал, содержащий множество Е. Тогда ЕМD, откуда, в силу теоремы 3.
m*E Ј m = m Ј ,
и теорема вытекает из произвольности числа e.
Теорема 6. Если ограниченное множество Е есть сумма конечного числа или счетного множества взаимно не налегающих множеств Еk
Е= (EkEk'=0, k№k'),
то
m*Eі*Ek.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим первые n множеств Е1, Е2,... …, Еn. Для любого e > 0 существуют такие замкнутые множества Fk, что
FkМEk, mFk>m*Ek- (k=1, 2, …, n).
Множества Fk попарно не пересекаются и сумма их замкнута. Отсюда, применяя теорему 6, получим
m*E і m= mFk > m*Ek - e.
Так как e--> _--произвольно, то m*Ek Ј--m*E.
Этим теорема доказана для случая конечного числа слагаемых множеств. Если же этих множеств имеется счетное множество, то, опираясь на произвольность числа n, мы установим сходимость ряда m*Ek и неравенство m*Ek Ј--m*E.
Легко видеть, что теорема перестает быть справедливой, если отбросить условие отсутствия общих точек у множеств Ek. Например, если Е1=[0, 1], Е2=[0, 1] Е=Е1+Е2, то m*E=1, m*E1+m*E2=2.
Теорема 7. Пусть Е ограниченное множество. Если D--интервал, содержаций это множество, то
m* E+m*[CDE]=mD.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем произвольное e>_--и найдем такое замкнутое множество F, что FМCDЕ, mF>m*[CDE]- e.
Если мы положим G=CDF, то множество G будет открытым ограниченным множеством, содержащим множество Е, откуда, с помощью леммы находим
m*E Ј mG = mD--- mF <--mD--- m*[CDE] + e.
Отсюда, в силу произвольности e,--следует, что
m*E + m*[CDE] Ј--mD.
Для того чтобы получить обратное неравенство
m*E + m*[CDE] і--mD, (*)
приходится рассуждать тоньше.
Возьмем e>_--и найдем такое открытое ограниченное множество G0, что G0--Й Е, mG0 < m*E + .
Назовем концы интервала D--через--A и B и построим такой содержащийся в D--интервал (a, b), что
A < a < A+, В - < b < B.
Сделав это, положим G = DG0 + (A, a) + (b, B).
Множество G открыто, ограничено, содержит E и таково, что
mG < m*E + e.
Но кроме того (и это здесь основное) множество F = CDG оказывается замкнутым, что вытекает из легко проверяемого тождества F = [а, b]--Ч--CG.
Так как F М СDЕ, то m*[СDЕ]--і--mF = mD - mG > mD - m*E -e.
Отсюда, в силу произвольности e,--следует неравенство (*), а с ним и теорема.
Следствие. В обозначениях теоремы будет
m*[CDЕ] - m*[CDЕ]--=--m*E - m*E.
В самом деле, если мы переменим роли множеств Е и СDЕ, то получим, что m*[CDЕ]--+--m*Е = mD,--откуда
m*[CDЕ]--+--m*E = m*E + m*[CDE],
а это равносильно доказываемому утверждению.
