Измеримые множества
Определение. Ограниченные множество Е называется измеримым, если его внешняя и внутренняя меры равны друг другу :
m*E=m*E.
Их общее значение называется мерой множества E и обозначается через mE:
mE=m*E=m*E .
Этот способ определения понятия меры принадлежит Лебегу, в связи с чем иногда измеримое множество называют множеством “измеримым в смысле Лебега”, или, короче, “измеримым (L)”.
Если множество E неизмеримо, то о его мере нельзя говорить, и символ mE для нас лишен смысла. В частности, неизмеримыми мы считаем все неограниченные множества.
Теорема 1. Открытое ограниченное множество измеримо и его вновь определенная мера совпадает с мерой.
Этот результат есть непосредственное следствие теоремы 1. Точно также из теоремы 2, вытекает следующая теорема:
Теорема 2. Замкнутое ограниченное множество измеримо и его вновь определенная мера совпадает с введенной.
Из следствия теоремы 7, вытекает:
Теорема 3. Если Е есть ограниченное множество, содержащееся в интервале D,--множества Е и СDЕ одновременно измеримы или нет.
Из сопоставления теорем 5 и 6 предыдущей темы следует:
Теорема 4. Если ограниченное множество Е есть сумма конечного числа или счетного множества измеримых множеств, попарно не имеющих точек,
(ЕkЕk' = 0, k № k'),--
то множество Е измеримо и
Д о к а з а т е л ь с т в о вытекает из следующей цепи неравенств:
Доказанное свойство меры называется ее полной аддитивностью.
В последней теореме существенно было, что отдельные слагаемые попарно не пересекаются. Избавимся от этого ограничения, пока, впрочем, для случая конечного числа слагаемых множеств.
Теорема 5. Сумма конечного числа измеримых множеств есть измеримое множество.
Д о к о з а т е л ь с т в о. Пусть причем множества
Ek (k =1, 2, …, n) измеримы.
Возьмем произвольное e>_--и построим для каждого k такое замкнутое множество Fk и такое открытое ограниченное множество Gk, чтобы было
Fk М Ek М Gk, mGk - mFk < (k = 1, 2, …, n).
Сделав это, положим
Очевидно, что множество F замкнуто, а G открыто и ограничено, и что
F М E М G, откуда следует, что
mF Ј m*E Ј m* E Ј mG. (*)
Но множество G - F открыто (ибо его можно представить в форме
G · CF) и ограничено. Значит, это множество измеримо. Множество F также измеримо, а потому, поскольку
G = F + (G - F)
и множества F и G - F не пересекаются, можно применить предыдущую теорему, что дает mG = mF + m(G - F), откуда
m(G - F) = mG - mF.
Аналогично мы установим, что
m(Gk - Fk) = mGk - mFk (k = 1, 2, …, n).
Отметим теперь легко проверяемое включение
G-F(Gk-Fk).
Все входящие сюда множества открыты и ограничены, так что, на основании теорем § 1, мы имеем
m(G-F)
или
mG - mF<e.
Отсюда и из (*) вытекает, что m*E - m*E<e,--а также как e--сколь угодно мало, то
m*E = m*E.
Теорема 6. Пересечение конечного числа измеримых множеств измеримо.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть E=, причем множества Ek измеримы. Назовем через D--какой-нибудь интервал, содержащий все множества Ek. Легко проверить, что CDE=.
Но множества СEk измеримы одновременно с множествами Ek, откуда, в силу теоремы 5, следует измеримость множества CDE, а с ним и множества E, что и требовалось доказать.
Теорема 7. Разность двух измеримых множеств измерима.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть E = E1 - E2, где множества E1 и E2 измеримы. Назовем через D--какой-нибудь интервал, содержащий оба множества E1 и E2. Тогда E=E1·CDE2 и дело сводится к предыдущей теореме.
Теорема 8. Если в условиях теоремы 7 будет E1--E2, то
ME = mE1--- mE2.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно E1=E+E2 (EE2=0), откуда, в силу теоремы 4, mE1=mE+mE2, что равносильно теореме.
Теорема 9. Если ограниченное множество E является суммой счетного множества измеримых множеств, то E измеримо.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть E=.
Введем множества Ak--(k=1, 2, …), полагая
A1=E1, A2=E2-E1, …, Ak=Ek-(E1+…+Ek-1), …
Легко проверить, что . При этом все множества Ak измеримы и попарно не пересекаются (в последнем вся суть доказательства), так что дело свелось к теореме 4.
Условие ограниченности множества Е (которое в теореме 5 выполнялось само собой) отбросить нельзя, как видно хотя бы из примера Еk = [0, k], где сумма k = [0, +) неизмерима.
Теорема 10. Пересечение счетного множества измеримых множеств измеримо.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть k, где все множества Еk измеримы. Так как ЕЕ1, то множество Е ограничено. Обозначим через D-- какой-нибудь интервал, содержащий это множество, и положим Аk= D--Еk (k=1, 2, 3, …).
Тогда
k=k)=k.
Легко проверить, что , и дело сводится к теоремам 3 и 9.
В заключение установим две теоремы, играющие важную роль в теории функций.
Теорема 11. Пусть множества Е1, Е2, Е3, … измеримы. Если
и если сумма ограничена, то
[mEn].
Д о к а з а т е л ь с т в о. Легко видеть, что множество Е можно представить в форме
Е=Е1 + (Е2 - Е1) + (Е3 - Е2) + (Е4 - Е3) + …,
где отдельные слагаемые попарно не пересекаются. Отсюда, в силу теорем 4 и 8, следует, что
На основании самого определения суммы бесконечного ряда, последнее равенство можно переписать так
{
а это равносильно теореме, ибо
mE1+=mEn
Теорема 12. Пусть E1, E2,E3,… суть измеримые множества, и Е= . Если Е1ЙE2ЙE3Й…, то
mE=lim.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Эту теорему легко свести к предыдущей. Действительно, обозначив через D--какой-нибудь интервал, содержащий множество Е1, мы будем иметь
СDE1МCDE2МCDE3М--...,--CDE=.
В силу теоремы 11 мы получаем, что
m(СDE)=
что можно представить и так:
mD - mE=
а это равносильно теореме.
