Измеримость и мера как инварианты движения

Пусть даны два множества А и В, состоящие из объектов любой природы. Если указано правило, которое каждому элементу а множества А ставит в соответствие один и только один элемент b множества В, то говорят, что установлено однозначное отображение множества А в множество В. При этом не предполагается, что каждый элемент множества В оказывается соотнесенным какому-нибудь элементу из А. Понятие отображения есть прямое обобщение понятия функции. В связи с этим элемент b О--В, отвечающий элементу а О--A,--часто обозначают через f(а)--и пишут b=f (а).

Если b=f(а),--то мы будем называть элемент b образом элемента а, а элемент а прообразом элемента b. При этом один элемент b может иметь несколько прообразов.

Пусть А* есть часть множества А, а В* есть множество образов всех элементов А* (иначе говоря, если аОА*, то f(а)--ОВ*, и если bОВ*, то существует хоть один элемент аОА* такой, что f(а)--=--b). В таком случае множество В* называется образом множества А*, что записывают так: В*=--f(А*).

При этом множество А* называется прообразом множества В*.

Установив эти общие понятия, перейдем к рассмотрению одного важного специального вида отображений.

Определение 1. Однозначное отображение j (х) числовой прямой Z--в себя называется движением, если расстояние между образами любых двух точек прямой равно расстоянию между самими этими точками:

Ѕj (х) - j (y)Ѕ=--Ѕ--х - y Ѕ.

Иначе говоря, движением называется такое отображение множества Z--в множество Z,--которое не изменяет расстояний между точками Z.

--В определение понятия движения не включено требование, чтобы каждая точка Z--cлужила образом какой-нибудь точки, а также требование, чтобы разные точки Z имели разные же образы. Однако оба эти обстоятельства имеют место. Убедимся в этом пока для одного из них.

Теорема 1. Пусть j--( х) есть движение. Если х №--y, то j--( х) №--j--(y).

Действительно, в этом случае Ѕj--(х) - j--(y)--Ѕ--=----Ѕх - yЅ№--_.

--Теорема 2. a) Если А М--В, то j--(А) М----j--( В).

b)

c)

d) Если L--пустое множество, то j(L)--=--L

Доказательство предоставляется читателю; укажем лишь на то, что при доказательстве с) используется теорема 1.

Легко проверить, что следующие три отображения являются движениями:

I.--j--(х) = х + d (сдвиг),

II. j--(х) = - х (зеркальное отражение),

III. j--(х) = - х + d.

Чрезвычайно важным является то, что этими тремя (собственно - двумя, ибо III охватывает II) типами исчерпываются все возможные движения в Z.

----------Теорема 3. Если j--(х) есть движение, то либо

j--(х) = х + d,

либо

j--(х) = - х + d.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Положим, j--(_)--=--d. Тогда для всякого х будет |--j--(х) - d |--=--|--х |--и, стало быть,

j--(--х ) = (-1) ^{s(--х )} х + d [s(х) = 0, 1].

Функция s--(х) определена для всякого х №--_.--Нашей задачей является установление того, что s--(х) есть постоянная величина.

Пусть x и y две точки, причем x № 0, y № 0, x № y. Тогда

j--(x) - j (y) = (-1)--^{s (x)} x - (-1)--^{s (y)} y,

или

j--(x) - j (y) = (-1)^{--s (x)} [x - (-1)--^r y],

где r--=--s--(y) - s (x) имеет одно из трех значений r--=--1,--_,---1.

Пользуясь определением движения, можно утверждать, что

|--x - (-1)--^r y| = | x - y|.

Отсюда, либо x - (-1)^r y = x - y, либо же x - (-1)^r y = -x + y.

Но второй случай невозможен, ибо он приводит к тому, что

2x = y [1 + (-1)--^r ], откуда (при r--=--±--1)--x = 0, или (при r--=--_)--x = y, а это противоречит условию.

Значит, остается первый случай, который дает, что r--=--_,--т.е. s(x) = s(y).

Значит, для всех x № 0 функция s--(x) имеет одно и то же значение

s--(x) = s (s = 0, 1), так что j--(x) = (-1)--^s x + d.

Поскольку это равенство, очевидно, остается в силе и для x = 0, теорема доказана.

Следствие. При движении каждая точка y О Z служит образом некоторой точки x О Z, т.е. j--(Z) = Z.

Действительно, если j--(x) = (-1)--^s x + d, то прообразом точки y служит точка x = (-1)--^s (y-d).

Если j--(x) = (-1) s--x + d есть некоторое движение, то движение

j^-1 (x) = (-1)^--s (x - d)

называется обратным движением. Эти два движения связаны соотношениями

j--[j^-1 (x)] = j^-1[j (x)] = x.

Иначе говоря, если точка х в движении j--имеет образом точку y, то в движении j^-1 точка y имеет образом точку х. Весьма важным является то, что для всякого движения существует обратное ему движение.

Теорема 4. При движении: а) всякий интервал переходит в интервал той же меры, причем концами интервала-образа служат образы концов интервала-прообраза;

b) образ ограниченного множества есть ограниченное же множество.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть D--=--(a, b) есть некоторый интервал. Тогда при движении j--(x) = x + d образом интервала D--служит интервал (а+ d, b + d), а при движении j--(x) = -x + d - интервал (d - b, d - a). В обоих случаях mj (D) = b - a = mD.

Чтобы доказать b), обозначим через Е какое-нибудь ограниченное множество. Если D--есть интервал, содержащий множество Е, то

j--(Е) М--j--(D),--так что j--(Е) ограничено. Можно рассуждать и так: если для всех х из Е будет |--х |--<--k, то для всех у из j(E) будет |--у|<k+|d|.

Теорема 5. При движении: а) замкнутое множество переходит в замкнутое множество;

b) открытое множество переходит в открытое множество.

Д о к а з а т е л ь с т в о. a) пусть j--(F) есть образ замкнутого множества F. Обозначим через у_{_--}какую-либо предельную точку множества j--(F)--и найдем последовательность {у_n}, для которой

lim у_n = у_{_--},--у_n О--j(F).

Пусть х_{_}=j^-1(у_{_}),--х_n=--у -¹(у_n).

Тогда х_nОF. Но |--х_n - х_{_}--|--=--|--у_n - у_{_} |,--так что х_n ®--х_{_}--и, в силу замкнутости F, х_{_}--О--F, откуда у_{_}--=--j (х_{_})--О--j (F).

Значит j(F) есть открытое множество.

b) Пусть G есть открытое множество. Положим F=CG. Тогда F есть замкнутое множество и G+F=Z, G--·F=0.

Отсюда, в силу теоремы 2 и следствия теоремы 3,

j (G) +--j (F) = Z, j (G)--j--·(F) = 0,

т.е. j (G) является дополнением замкнутого множества j (F) и, стало быть, открыто.

Теорема 6. Мера открытого ограниченного множества не меняется при движении.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть G открытое ограниченное множество. Тогда и j(G) есть открытое ограниченное множество. Обозначим через d_k(k = 1, 2, 3…) составляющие интервалы множества G. На основании теоремы 4, составляющими интервалами множества j(G) служат интервалы j(d_k), причем легко проверить, что этими интервалами исчерпываются все составляющие интервалы множества j(G). Отсюда: mj(G)=j(d_k)=d_k = mG, что и требовалось доказать.

Теорема 7. Движение не изменяет ни внешней, ни внутренней меры ограниченного множества.

Д о к а з а т е л ь с т в о. а) Пусть E ограниченное множество. Взяв произвольное e>0, найдем такое открытое ограниченное множество G, чтобы было GЙE, mG <--m* E + e.

В таком случае j(G) есть открытое ограниченное множество, содержащее множество j(E). Стало быть

m*j(E)--Јmj(G)=mG <--m*E+e.--

В силу произвольности числа e,--следует, что m*j(E)--Јm* E, так что при движении внешняя мера ограниченного множества не увеличивается. Но тогда она и не уменьшается, ибо иначе обратное движение привело бы к увеличению внешней меры.

Итак

m*j(E)=m*E.

b) Обозначим через D----какой-нибудь интервал, содержащий множество Е. Тогда j--(D)--есть интервал, содержащий множество j--(Е). Положим, далее, А=С_D--E.--

Соотношения Е+А=D,--ЕА=0 дают, что

j--(E)+j--(А)=--j--(--D),----j--(Е) · j--(А)=0,

так что j--(Е) есть дополнительные множества j--(А) относительно интервала j (D).Отсюда, в силу теоремы 7,

m* j (А)+m _* j (Е)=mj (D)

и, на основании уже доказанной части теоремы и теоремы 4,

m* А+m_* j (Е)=mD.

Значит m_*j--(Е)=mD-m* (C_DЕ), и снова применяя теорему 7, мы находим, что

m_*j (Е)=m_* Е.

Следствие. При движении измеримое множество переходит в измеримое множество той же меры.

Определение 2. Множества А и В называются конгруэнтными, если существует движение, в котором одно из них переходит в другое.

С помощью этого термина доказанные результаты можно высказать в такой форме.

Теорема 8. Конгруэнтные множества имеют одинаковые внешнюю и внутреннюю меры. Множество, конгруэнтное измеримому множеству, измеримо и имеет ту же меру.