АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Понятие скаляра и вектора. Модуль вектора. Операции со скалярами и векторами. Скалярное произведение. Прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Расстояние между точками. Уравнения прямой на плоскости. Пересечение прямых. Прямая, проходящая через две данные точки. Прямая, параллельная и препендикулярная данной прямой. Уравнение плоскости. Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола.

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.

Скаляром называется величина, полностью характеризующаяся своим численным значением. Вектором называется направленный отрезок прямой. Обозначается , .Отрезок имеет начало и конец, направление вектора указывается стрелкой. Величина, равная длине вектора, называется модулем (абсолютной величиной вектора) вектора а и обозначается а. Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Вектор называется нулевым, если его начальная и конечная точки совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направления.

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину (модуль) и одинаковое направление.

Векторы называются компланарными, если они лежат либо в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях.

Линейные операции над векторами.

Суммой a + b векторов a и b называется вектор, идущий из начала вектора а в конец вектора b, если начало вектора b совпадает с концом вектора а

Свойства сложения:

Свойство 1. a + b = b + a.

Свойство 2. (a+b)+c=a+(b+c). b

Свойство 3. Для любого вектора a существует нулевой вектор О такой, что a+О=а.

Свойство 4. Для каждого вектора a существует противоположный ему вектор a/ такой, что а+а/=О.

Разностью а - b векторов а и b называется такой вектор с, который в сумме с вектором b дает вектор а.

Произведением ka вектора а на число k называется вектор b, коллинеарный вектору а, имеющий модуль, равный |k||a|, и направление, совпадающее с направлением а при k>0 и противоположное а при k<0.

Свойства умножения вектора на число:

Свойство 1. k(a + b) = ka + kb.

Свойство 2. (k + m)a = ka + ma.

Свойство 3. k(ma) = (km)a.

Следствие. Если ненулевые векторы а и b коллинеарны, то существует такое число k, что b = ka.

Скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их модулей на косинус угла между ними:

ab = |a||b| cosц . Обозначения скалярного произведения: ab, (ab), a·b .

Если векторы а и b определены своими декартовыми координатами

a = {X1, Y1, Z1}, b = {X2, Y2, Z2},

то ab = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2 .

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L.

Уравнение Ф(х,у) = 0 называется уравнением линии L, если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на линии L.

Прямая на плоскости.

,

каноническое уравнение прямой.

-

уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Обозначив за t значения равных дробей, стоящих в левой и правой частях уравнения

можно преобразовать это уравнение к виду:

x = x0 + lt, y = y0 + mt -

параметрические уравнения прямой.

Для прямой l, не параллельной оси Оу, можно ввести так называемый угловой коэффициент k - тангенс угла, образованного прямой и осью Ох, и записать уравнение

прямой в виде:

у = kx + b -

уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Действительно, все точки прямой l1, параллельной l и проходящей

через начало координат, удовлетворяют уравнению у = kх, а ординаты соответствующих точек на прямой l отличаются от них на постоянную величину b.

Неполные уравнения прямой.

1) С = 0 - прямая Ах + Ву = 0 проходит через начало координат.

2) В = 0 - прямая Ах + С = 0 параллельна оси Оу (так как нормаль к прямой {A,0} перпендикулярна оси Оу).

3) А = 0 - прямая Ву + С = 0 параллельна оси Ох.

4) В=С=0 - уравнение Ах = 0 определяет ось Оу.

5) А=С=0 - уравнение Ву = 0 определяет ось Ох.

где и равны величинам отрезков, отсекаемых прямой на осях Ох и Оу. Уравнение прямой в отрезках.

Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

1. Если прямые L1 и L2 заданы общими уравнениями

А1х + В1у + С1 = 0 и А2х + В2у + С2 = 0,

то

.

2. Если прямые заданы каноническими уравнениями, по аналогии с пунктом 1 получим:

,

- условие параллельности,

- условие перпендикулярности.

Здесь и - направляющие векторы прямых.

3. Пусть прямые L1 и L2 заданы уравнениями с угловыми коэффициентами

у = k1x +b1 и y = k2x + b2, где , а б1 и б2 - углы наклона прямых к оси Ох, то для угла ц между прямыми справедливо равенство: ц = б2 - б1. Тогда

.

Условие параллельности имеет вид: k1=k2,

условие перпендикулярности - k2=-1/k1, поскольку при этом tgц не существует.

Расстояние от точки до прямой.

Рассмотрим прямую L и проведем перпендикуляр ОР к ней из начала координат (предполагаем, что прямая не проходит через начало координат).

Расстояние от точки до прямой определяется так:

Замечание. Для того, чтобы привести общее уравнение прямой к нормальному виду, нужно умножить его на число , причем знак выбирается противоположным знаку свободного члена С в общем уравнении прямой. Это число называется нормирующим множителем.

Пример. Найдем расстояние от точки А(7,-3) до прямой, заданной уравнением

3х + 4у + 15 = 0. АІ + BІ=9+16=25, C=15>0, поэтому нормирующий множитель равен

-1/5, и нормальное уравнение прямой имеет вид: Подставив в его левую часть вместо х и у координаты точки А, получим, что ее отклонение от прямой равно

Следовательно, расстояние от точки А до данной прямой равно 4,8.

Расстояние между двумя точками М(х,у,z) и N( х11,z1) выражается формулой

d(MN) = (х1 - x)І + (у1 - y)І + (z1 - z)І

Плоскость в пространстве.

A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0.

уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

После приведения подобных можно записать уравнение в виде:

Ax + By + Cz + D = 0,

где D = -Ax0 - By0 - Cz0. Это линейное уравнение относительно трех переменных называют общим уравнением плоскости.

уравнение плоскости в отрезках.. Параметры а, b и с равны величинам отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях.

Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Косинус угла между плоскостями б1 и б2 равен

Условие параллельности плоскостей заключается в параллельности нормалей:

а условие перпендикулярности плоскостей - в перпендикулярности нормалей или равенстве нулю их скалярного произведения:

A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0

Прямая в пространстве.

Замечание. Прямую в пространстве невозможно задать одним уравнением. Для этого требуется система двух или более уравнений.

Первая возможность составить уравнения прямой в пространстве - представить эту прямую как пересечение двух непараллельных плоскостей, заданных уравнениями

A1x+B1y+C1z+D1=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0, где коэффициенты A1,B1,C1 и A2,B2,C2 не пропорциональны:

A1x+B1y+C1z+D1=0 A2x+B2y+C2z+D2=0.

Однако при решении многих задач удобнее пользоваться другими уравнениями прямой, содержащими в явной форме некоторые ее геометрические характеристики.

Составим уравнения прямой, проходящей через точку М0(x0,y0,z0) параллельно вектору a={l,m,n}.

Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется ее направляющим вектором.

Для любой точки М(x,y,z), лежащей на данной прямой, вектор М0М = {x - x0,y - y0,z - z0) коллинеарен направляющему вектору а. Поэтому имеют место равенства:

называемые каноническими уравнениями прямой в пространстве.

В частности, если требуется получить уравнения прямой, проходящей через две точки:

М11, у1, z1) и M2(x2, y2, z2), направляющим вектором такой прямой можно считать вектор М1М2 = {x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1}, и уравнения (8.11) принимают вид:

-

- уравнения прямой, проходящей через две данные точки.

Если же принять каждую из равных дробей в уравнениях (8.11) за некоторый параметр t, можно получить так называемые параметрические уравнения прямой:

.

Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью.

Угол между прямыми в пространстве равен углу между их направляющими векторами. Поэтому, если две прямые заданы каноническими уравнениями вида

и косинус угла между ними можно найти по формуле:

. (8.14)

Условия параллельности и перпендикулярности прямых тоже сводятся к соответствующим условиям для их направляющих векторов:

- условие параллельности прямых, (8.15)

- условие перпендикулярности прямых. (8.16)

Угол ц между прямой, заданной каноническими уравнениями

и плоскостью, определяемой общим уравнением

Ax + By + Cz + D = 0, можно рассматривать как дополнительный к углу ш между направляющим вектором прямой и нормалью к плоскости. Тогда

Условием параллельности прямой и плоскости является при этом условие перпендикулярности векторов n и а:

Al + Bm + Cn = 0,

а условием перпендикулярности прямой и плоскости - условие параллельности этих векторов: A/l = B/m = C/n.

Кривыми второго порядка на плоскости называются линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину.

Если такая плоскость пересекает все образующие одной полости конуса, то в сечении получается эллипс, при пересечении образующих обеих полостей - гипербола, а если секущая плоскость параллельна какой-либо образующей, то сечением конуса является парабола.

Замечание. Все кривые второго порядка задаются уравнениями второй степени от двух переменных.

Эллипс.

Эллипсом называется множество точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Замечание. При совпадении точек F1 и F2 эллипс превращается в окружность.

каноническое уравнение эллипса:

Эксцентриситетом эллипса называется величина е=с/а

bІ = aІ-cІ

Директрисой Di эллипса, отвечающей фокусу Fi, называется прямая, расположенная в одной полуплоскости с Fi относительно оси Оу перпендикулярно оси Ох на расстоянии а/е от начала координат.

Замечание. При ином выборе системы координат эллипс может задаваться не каноническим уравнением, а уравнением второй степени другого .

Свойства эллипса:

1) Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии (главные оси эллипса) и центр симметрии (центр эллипса). Если эллипс задан каноническим уравнением, то его главными осями являются оси координат, а центром - начало координат. Поскольку длины отрезков, образованных пересечением эллипса с главными осями, равны 2а и 2b (2a>2b), то главная ось, проходящая через фокусы, называется большой осью эллипса, а вторая главная ось - малой осью.

2) Весь эллипс содержится внутри прямоугольника

3) Эксцентриситет эллипса e < 1.

Действительно,

4) Директрисы эллипса расположены вне эллипса (так как расстояние от центра эллипса до директрисы равно а/е, а е<1, следовательно, а/е>a, а весь эллипс лежит в прямоугольнике )

5) Отношение расстояния ri от точки эллипса до фокуса Fi к расстоянию di от этой точки до отвечающей фокусу директрисы равно эксцентриситету эллипса.

Гипербола.

Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

- каноническое уравнение гиперболы.

Эксцентриситетом гиперболы называется величина е = с / а.

Директрисой Di гиперболы, отвечающей фокусу Fi, называется прямая, расположенная в одной полуплоскости с Fi относительно оси Оу перпендикулярно оси Ох на расстоянии а / е от начала координат.

Свойства гиперболы:

1) Гипербола имеет две оси симметрии (главные оси гиперболы) и центр симметрии (центр гиперболы). При этом одна из этих осей пересекается с гиперболой в двух точках, называемых вершинами гиперболы. Она называется действительной осью гиперболы (ось Ох для канонического выбора координатной системы). Другая ось не имеет общих точек с гиперболой и называется ее мнимой осью (в канонических координатах - ось Оу). По обе стороны от нее расположены правая и левая ветви гиперболы. Фокусы гиперболы располагаются на ее действительной оси.

2) Ветви гиперболы имеют две асимптоты, определяемые уравнениями

и .

3) Наряду с гиперболой (11.3) можно рассмотреть так называемую сопряженную гиперболу, определяемую каноническим уравнением

,

для которой меняются местами действительная и мнимая ось с сохранением тех же асимптот.

4) Эксцентриситет гиперболы e > 1.

5) Отношение расстояния ri от точки гиперболы до фокуса Fi к расстоянию di от этой точки до отвечающей фокусу директрисы равно эксцентриситету гиперболы.

Доказательство можно провести так же, как и для эллипса.

Парабола.

Параболой называется множество точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой. Точка F называется фокусом параболы, а прямая - ее директрисой.

yІ=2px ,

каноническое уравнение параболы. Величина р называется параметром параболы.

Свойства параболы:

1) Парабола имеет ось симметрии (ось параболы). Точка пересечения параболы с осью называется вершиной параболы. Если парабола задана каноническим уравнением, то ее осью является ось Ох, а вершиной - начало координат.

2) Вся парабола расположена в правой полуплоскости плоскости Оху.

Замечание. Используя свойства директрис эллипса и гиперболы и определение параболы, можно доказать следующее утверждение:

Множество точек плоскости, для которых отношение е расстояния до некоторой фиксированной точки к расстоянию до некоторой прямой есть величина постоянная, представляет собой эллипс (при e<1), гиперболу (при e>1) или параболу (при е=1).

Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду.

Линия, определяемая общим уравнением второго порядка

,

называется алгебраической линией второго порядка.

Для того, чтобы перейти к новой системе координат, в которой уравнение линии будет иметь канонический вид, необходимо провести два преобразования:

1) поворот координатных осей на такой угол, чтобы их направление совпало с направлением осей симметрии кривой (если она имеет две оси);

2) параллельный перенос, при котором начало координат совмещается с центром симметрии кривой (если он существует).

Замечание. Для параболы новые оси координат должны располагаться параллельно и перпендикулярно директрисе, а начало координат - совпасть с вершиной пара

Классификация кривых второго порядка.

Рассмотрим общее уравнение второго порядка

и выясним, какие геометрические образы на плоскости могут задаваться этим уравнением.

- каноническое уравнение эллипса.

или , в зависимости от знака . Оба этих уравнения определяют гиперболу.

б) При =0 получаем уравнение , эквивалентное двум линейным уравнениям: и , задающим пару пересекающихся прямых.

а) к уравнению (11.8): , определяющему параболу;

б) к уравнению , или , задающему пару параллельных прямых;

в) к уравнению , определяющему одну прямую (или пару совпадающих прямых);

г) к уравнению , не имеющему решений и, следовательно, не определяющему никакого геометрического образа.

Вопросы для самопроверки.

1) Что называется направленным отрезком и его длиной?

2) Какой вектор равен сумме двух взаимно противоположных векторов с равными модулями?

3) Чему равно скалярное произведение двух взаимно перпендикулярных векторов? параллельных векторов?

4) Чему равно скалярное произведение ортов координатных осей?

5) Выведите формулу для определения расстояния между точками на плоскости.

6) Выведите из общего уравнения прямой уравнение с угловым коэффициентом.

Чему равен коэффициент при х в этом уравнении?

7) Сформулируйте условие параллельности и перпендикулярности двух прямых для общего уравнения прямой.

8) каким свойством обладает прямая у = kх + bпри b= 0?

9) как находят точку пересечения двух прямых? Сформулируйте условие, при котором две прямые не имеют ни одной общей точки пересечения.

10) как из общего уравнения плоскости найти точки ее пересечения с координатными осями?

11) Что такое эллипс и гипербола? Напишите их канонические уравнения.

12) Почему эллипс, гипербола и парабола называются кривыми второго порядка?

13) В какую кривую переходит эллипс при a = b? Напишите уравнение этой кривой.

14) Исходя из канонического уравнения, изобразите график параболы. Чем эта парабола отличается от известной параболы из школьного курса?

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   Скачать   След >