ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ

Понятие предела. предел суммы, произведения и частного. Предел сложной функции. Вычисление пределов. Замечательные пределы. Понятие непрерывности в точке и на интервале. Точки разрыва. Геометрический смысл. Непрерывность суммы , произведения и частного функций. непрерывность сложной функции. Непрерывность элементарных функций.

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Число A называется пределом функции y = f(x) в точке x0 (иногда говорят, при x, стремящемся к x0), если для любого положительного числа можно найти такое положительное число , что для всех x из -окрестности точки x0 соответствующие значения y попадают в -окрестность точки y = A.

Можно сформулировать определение предела функции по-другому. Число A называется пределом функции y = f(x) в точке x0, если для любого положительного числа можно найти такое положительное число , что для всех x, удовлетворяющих условию

0 < x - x0 < ,

выполняется условие

y - A < .

Тот факт, что A есть предел функции y = f(x) в точке x = x0, записывается формулой

.

Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x = x0, если она определена в этой точке и ее значение f(x0) равно пределу функции в этой точке: .

Функция y = x2 непрерывна в точке x = 2, как и во всех точках числовой оси. Функция не является непрерывной в точке x = 2. Функция не является непрерывной в точке x = 0.

Функция, непрерывная в каждой точке открытого промежутка, называется непрерывной на этом промежутке.

Cвойства предела функции.

1. Функция не может иметь в одной точке два разных предела.

2. , если C -- постоянная функция.

3. Если существует и C -- постоянная функция, то

.

4.  Если существуют и , то существует , равный , а также существует , равный . Если при этом , то существует, равный .

Число B называется пределом функции f(x) в точке a справа (это записывается в виде формулы  ), если для любого положительного числа найдется положительное число , такое что из из условия 0 < x - a <  будет следовать B -f(x)  < .

Согласно приведенному определению .

Число С называется пределом функции f(x) в точке b слева (это записывается в виде формулы  ), если для любого положительного числа найдется положительное число такое, что из условия 0 < b - x <  будет следовать C - f(x) < .

Функция f(x) называется непрерывной в точке a справа (непрерывной в точке b слева), если

().

Функция непрерывна справа в точке x=0.

Функция называется непрерывной на замкнутом промежутке [a, b], если она непрерывна на открытом промежутке (a, b), непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b.

Для того, чтобы выполнялось равенство , необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись два равенства:

;

Число А называется пределом функции f(x) при х, стремящемся к бесконечности:

,

если для любого положительного числа можно найти такое положительное число M (зависящее от ), что для всех чисел х, превосходящих М, выполняется условие:

f(x) - A < .

Пусть теперь функция f(x) определена на полу бесконечном промежутке
(-; х0). Число А называется пределом функции f(x) при х, стремящемся к минус бесконечности:

,

если для любого положительного числа можно найти такое положительное число M (зависящее от ), что для всех чисел х, меньших, чем - М, выполняется условие:

f(x) - A < .

Два, так называемых, "замечательных предела".

1.  . Геометрический смысл этой формулы заключается в том, что прямая является касательной к графику функции в точке .

2.  . Здесь e -- иррациональное число, приблизительно равное 2,72.

Вопросы для самопроверки.

1. Приведите пример функции, не имеющей предела в данной точке.

2. При каких условиях из существования пределов слева и справа следует существование предела функции в данной точке.

3. Какова связь между понятиями предела функции и бесконечно малой функции?

4. Какова связь между бесконечно малой и бесконечно большой функцией?

5. Приведите примеры бесконечно малых функций: эквивалентных, одного порядка, разного порядка малости.

6. Чему равен предел суммы четырех функций?

7. В чем различие между понятиями предела и непрерывности функции в точке?

8. При каких условиях непрерывна сложная функция?

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   Скачать   След >