Экстремум функции (для одной переменной)
Если функция f(x) дифференцируема на интервале (a;b) и f'(x)>0 (f'(x)<0), то f(x) возрастает (убывает) на этом промежутке. Точка х0 называется точкой максимума функции f(x), если существует такая окрестность точки х0, что для всех х, не равных х0 из этой окрестности, выполняется неравенство f(x) < f(х0), где х0 - точка максимума. Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум (минимум) функции называется экстремумом.
Необходимое условие экстремума: если дифференцируемая функция f(x) имеет экстремум в точке х0, то ее производная в этой точке равна 0.
Достаточное условие экстремума: если производная меняет знак на минус, то х0 - точка максимума; если с минуса на плюс, то точка х0 - точка минимума.
Производная. Ее геометрический и физический смысл.
Физический: производной функции y=f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции ?y в этой точке к вызвавшему его приращению аргумента ?х при произвольном стремлении ?х к 0.
Геометрический: угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой х0 равен значению производной этой функции в точке х0.
Замечательные пределы
lim (1+1/x)^x=e; lim (1+x)^1/x=e (e - экспонент)
x>? x>0
Точки разрыва функции, классификация
Точка х0 называется точкой разрыва функции y=f(x), если она принадлежит области определения функции или ее границе и не является точкой непрерывности. В этом случае говорят, что при х = х0 функция разрывна. Это может произойти, если в точке х0 функция не определена, или не существует предел функции при х > х0 , или, если предел функции существует, но не равен значению функции в точке х0: lim f(x) ? f(х0). Точку х0 называют точкой разрыва первого рода,
x>x0
если существуют конечные односторонние пределы f(x0-0)=lim f(x) и f(x0+0)=lim f(x), но f(x0-0)?f(x0+0). x>x0-0 x>x0+0
Точку х0 называют точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов f(x0-0) и f(x0+0) не существует (в частности, бесконечен).
