Непрерывность функции на отрезке, Предел функции по Гейне, Предел функции по Коши, Предел числовой последовательности - Ответы на экзаменационные билеты по высшей математики
Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Ответы на экзаменационные билеты по высшей математики

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>

Непрерывность функции на отрезке

Функция y=f(x) называется непрерывной, если:

- функция определена в точке х0 и в некоторой окрестности, содержащей эту точку;

- функция имеет предел при x>x0,

- предел функции при x>x0 равен значению функции в точке x0: lim f(x) = f(х0)

x>x0

Если в точке х0 функция непрерывна, то точка х0 называется точкой непрерывности данной функции. Часто приходится рассматривать непрерывность функции в точке х0 справа или слева (т.е. одностороннюю непрерывность). Пусть функция y=f(x) определена в точке х0 . Если lim f(x) = f(х0), то говорят, что функция y=f(x) непрерывна в точке x0 справа; если lim f(x) = f(х0),

x>x0+0 x>x0-0

то функция называется непрерывной в точке x0 слева.

Предел функции по Гейне

Число А называется пределом функции f(x) в точке x0 если для любой последовательности { xn} сходящейся к x0 , последовательность F({ xn}) соответствующих значений функции сходится к А:

lim f(x) =A

x>x0

Предел функции по Коши

Число А называется пределом функции f(x) в точке x0 если для любого сколь угодно малого числа E>0 (эпселон больше 0) найдется такое число ?>0 (дельта больше 0), что для всех х таких, что | x-x0|< ?, x?x0 выполняется неравенство |f(x)-A|<E.

Предел числовой последовательности

Число а называется пределом последовательности xn, если для любого положительного E>0 найдется такое число n, где n<N выполняется неравенство | xn-a|<E. В этом случае обозначают так lim xn = a

n>?

Если последовательность имеет предел, равный а, то она сходится к а. Теорема: сходящаяся последовательность имеет только один предел. Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.

Операции над пределами последовательностей:

Пусть lim xn = a; lim уn = b, тогда

n>? n>?

- lim (xn± уn) = a±b;

n>?

- lim (xn* уn) = a*b;

n>?

- lim (c* xn) = c*a;

n>?

- lim (xn)^R = (lim xn)^R=a^R;

n>?

- lim (xn)^1/R = a^1/R;

n>?

- lim a = a.

n>?

Бесконечно большие последовательности:

- lim xn= ±?;

n>?

Правила вычисления пределов ЧП:

- lim xn= а; lim yn= ±?, тогда lim xn/ lim yn = а/±?=0;

n>? n>? n>? n>?

- lim xn= 0; lim yn= ±?, тогда lim yn=0, lim (xn/ yn)= ±?

n>0 n>? n>? n>?

 
Перейти к загрузке файла
<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>