Непрерывность функции на отрезке

Функция y=f(x) называется непрерывной, если:

- функция определена в точке х₀ и в некоторой окрестности, содержащей эту точку;

- функция имеет предел при x>x₀,

- предел функции при x>x₀ равен значению функции в точке x₀: lim f(x) = f(х₀)

^x>x0

Если в точке х₀ функция непрерывна, то точка х₀ называется точкой непрерывности данной функции. Часто приходится рассматривать непрерывность функции в точке х₀ справа или слева (т.е. одностороннюю непрерывность). Пусть функция y=f(x) определена в точке х₀ . Если lim f(x) = f(х₀), то говорят, что функция y=f(x) непрерывна в точке x₀ справа; если lim f(x) = f(х₀),

^x>x0^{+0 x>x}0^-0

то функция называется непрерывной в точке x₀ слева.

Предел функции по Гейне

Число А называется пределом функции f(x) в точке x₀ если для любой последовательности { x_n} сходящейся к x₀ , последовательность F({ x_n}) соответствующих значений функции сходится к А:

lim f(x) =A

^x>x0

Предел функции по Коши

Число А называется пределом функции f(x) в точке x₀ если для любого сколь угодно малого числа E>0 (эпселон больше 0) найдется такое число ?>0 (дельта больше 0), что для всех х таких, что | x-x₀|< ?, x?x₀ выполняется неравенство |f(x)-A|<E.

Предел числовой последовательности

Число а называется пределом последовательности x_n, если для любого положительного E>0 найдется такое число n, где n<N выполняется неравенство | x_n-a|<E. В этом случае обозначают так lim x_n = a

^n>?

Если последовательность имеет предел, равный а, то она сходится к а. Теорема: сходящаяся последовательность имеет только один предел. Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.

Операции над пределами последовательностей:

Пусть lim x_n = a; lim у_n = b, тогда

^{n>? n>?}

- lim (x_n± у_n) = a±b;

^n>?

- lim (x_n* у_n) = a*b;

^n>?

- lim (c* x_n) = c*a;

^n>?

- lim (x_n)^R = (lim x_n)^R=a^R;

^n>?

- lim (x_n)^1/R = a^1/R;

^n>?

- lim a = a.

^n>?

Бесконечно большие последовательности:

- lim x_n= ±?;

^n>?

Правила вычисления пределов ЧП:

- lim x_n= а; lim y_n= ±?, тогда lim x_n/ lim y_n = а/±?=0;

^{n>? n>? n>? n>?}

- lim x_n= 0; lim y_n= ±?, тогда lim y_n=0, lim (x_n/ y_n)= ±?

^{n>0 n>? n>? n>?}