Общее уравнение плоскости, проходящей через три точки.
Если точки М0 (x0 ; y0 ; z0 ), М1 (x1 ; y1 ; z1 ), М2 (x2 ; y2 ; z2 ) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением
x - x0 y - y0 z - z0
x1 - x0 y1 - y0 z1 - z0 = 0
x2 - x0 y2 - y0 z2 - z0
Уравнение прямой в пространстве (общее и каноническое).
Прямая L, проходящая через точку М0 (x0 ; y0 ; z0 ) и имеющая направляющий вектор a {l,m,n}, представляется уравнениями x - x0 y - y0 z - z0
= = ,
l m n
выражающими коллинеарность векторов a {l,m,n} и М0М { x - x0 , y - y0 , z - z0 }. Они называются каноническими.
Уравнение прямой на плоскости.
Ax + By + C = 0, где А, В, С - постоянные коэффициенты.
Заметим, что n (А; В) - нормальный вектор (n + прямой).
Частные случаи этого уравнения:
- Ах + By = 0 (C=0) - прямая проходит через начало координат;
- Ах + С = 0 (В=0) - прямая параллельна оси Оу;
- Ву + С = 0 (А=0) - прямая параллельна оси Ох;
- Ах = 0 - прямая совпадает с осью Оу;
- Ву = 0 - прямая совпадает с осью Ох.
Векторы. Операции над векторами.
Вектор - направленный отрезок прямой.
I. Правила треугольника. Правила параллелограмма. II. Разность векторов. Параллелограмма.
а b а b а a c
а b a + b = c
a b b а
Равенство векторов:
Два (ненулевых) вектора равны, если они равнонаправлены и имеют один и тот же модуль. Все нулевые векторы считаются равными. Во всех остальных случаях векторы не равны.
Сложение векторов:
Суммой векторов называется третий вектор
Сумма нескольких векторов: Суммой векторов а1, а2, а3, …, аn называется вектор, получающийся после ряда последовательных сложений: к вектору а1 прибавляется вектор а2, к полученному прибавляется вектор а3 и т.д.
Коллинеарность векторов:
Векторы, лежащие на параллельных прямых, называются коллинеарными.
Скалярное произведение:
Скалярным произведением вектора а на вектор b называется произведение их модулей на косинус угла между ними
Угол между векторами:
cos(a^b)=(a*b)/(|a|*|b|)=(x1x2+y1y2+z1z2)/((x1^2+y1^2+z1^2)*(x2^2+y2^2+z2^2))^1/2
Система линейных уравнений. Формулы Крамера.
x = ?1/?; x2 = ?2/?; … xn = ?n/?
