Общее уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Если точки М₀ (x₀ ; y₀ ; z₀ ), М₁ (x₁ ; y₁ ; z₁ ), М₂ (x₂ ; y₂ ; z₂ ) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением

x - x₀ y - y₀ z - z₀

x₁ - x₀ y₁ - y₀ z₁ - z₀ = 0

x₂ - x₀ y₂ - y₀ z₂ - z₀

Уравнение прямой в пространстве (общее и каноническое).

Прямая L, проходящая через точку М₀ (x₀ ; y₀ ; z₀ ) и имеющая направляющий вектор a {l,m,n}, представляется уравнениями x - x₀ y - y₀ z - z₀

= = ,

l m n

выражающими коллинеарность векторов a {l,m,n} и М₀М { x - x₀ , y - y₀ , z - z₀ }. Они называются каноническими.

Уравнение прямой на плоскости.

Ax + By + C = 0, где А, В, С - постоянные коэффициенты.

Заметим, что n (А; В) - нормальный вектор (n + прямой).

Частные случаи этого уравнения:

- Ах + By = 0 (C=0) - прямая проходит через начало координат;

- Ах + С = 0 (В=0) - прямая параллельна оси Оу;

- Ву + С = 0 (А=0) - прямая параллельна оси Ох;

- Ах = 0 - прямая совпадает с осью Оу;

- Ву = 0 - прямая совпадает с осью Ох.

Векторы. Операции над векторами.

Вектор - направленный отрезок прямой.

I. Правила треугольника. Правила параллелограмма. II. Разность векторов. Параллелограмма.

а b а b а a c

а b a + b = c

a b b а

Равенство векторов:

Два (ненулевых) вектора равны, если они равнонаправлены и имеют один и тот же модуль. Все нулевые векторы считаются равными. Во всех остальных случаях векторы не равны.

Сложение векторов:

Суммой векторов называется третий вектор

Сумма нескольких векторов: Суммой векторов а1, а2, а3, …, аn называется вектор, получающийся после ряда последовательных сложений: к вектору а1 прибавляется вектор а2, к полученному прибавляется вектор а3 и т.д.

Коллинеарность векторов:

Векторы, лежащие на параллельных прямых, называются коллинеарными.

Скалярное произведение:

Скалярным произведением вектора а на вектор b называется произведение их модулей на косинус угла между ними

Угол между векторами:

cos(a^b)=(a*b)/(|a|*|b|)=(x1x2+y1y2+z1z2)/((x1^2+y1^2+z1^2)*(x2^2+y2^2+z2^2))^1/2

Система линейных уравнений. Формулы Крамера.

x = ?1/?; x2 = ?2/?; … xn = ?n/?