Система линейных уравнений. Метод Гауса.
Системой линейных уравнений, содержащей m-уравнений и n-неизвестных, называется система вида а11х1 + а12х2 + а13х3+…+аnxn = b1;
{ а21х1 + а22х2 + а23х3+…+аnxn = b2; }, где аij - коэффициенты системы, bi - свободные
am1x1 + am2x2 + am3x3+…+amnxn = bm члены
Обратная матрица. Ранг матрицы.
Матрица А-1 называется обратной к матрице А, если выполняется условие А* А-1 = А-1*А = Е
Всякая невырожденная матрица (т.е. ??0) имеет обратную.
Алгоритм вычисления обратной матрицы:
1. вычисляем определитель, составленный по данной матрице;
2. находим матрицу АТ, транспонированную к А;
3. составляем союзную матрицу (А*);
4. вычисляем обратную матрицу по формуле А-1 = А*/?А = 1/?А* ( )
Ранг м-цы:
Минором R-го порядка произвольной м-цы А называется определитель, составленный из элементов м-цы, расположенных на пересечении каких-либо R-строк и R-столбцов.
Рангом м-цы А называется наибольший из порядков ее миноров, неравных 0.
Базисным минором называется любое из миноров м-цы А, порядок которого равен рангу А.
При элементарных преобразованиях ранг м-цы не изменяется.
Ранг ступенчатой м-цы равен количеству ее не нулевых строк.
Свойства:
- при транспонировании м-цы ее ранг не меняется;
- если вычеркнуть из м-цы нулевой ряд, то ранг не изменится.
Матрицы. Операции над матрицами.
Матрицей размера m*n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m-строк и n-столбцов. Числа, составляющие м-цу, называются элементами м-цы.
Две м-цы А и В одного размера называются равными, если они совпадают поэлементно.
Виды: м-ца-строка; м-ца-столбец.
М-ца называется квадратной n-го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно n.
Квадратная м-ца, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны 0, называется диагональной.
Если у диагональной м-цы n-го порядка все элеметы главной диагонали равны 1, то м-ца называется единичной n-го порядка и обозначается Е.
Если все элементы м-цы равны 0, то она называется нулевой.
Операции над матрицами:
Умножение м-цы на число. Произведением м-цы А на число ? называется матрица В= ?*А, элементы которой bij = ?* aij (i=1,…,m, j=1,…,n)
Сложение м-ц. Суммой двух м-ц А и В одинакового размера m на n называется м-ца С=А+В, элементы которой Сij=aij+bij.
Аналогично находится разность.
Умножение м-ц. Умножение м-цы А на м-цу В возможно когда число столбцов первой м-цы равно числу строк второй. Тогда произведением м-цы А и В называется м-ца С, каждый элемент которой находится по формуле
Сij=ai1*b1j+ai2*b2j+…+aiR*bR = ?ais*bsj
Возведение в степень.
А^2=A*A
Транспонирование м-цы - переход от м-цы А к м-це АТ, в которой строки и столбцы меняются местами с сохранением порядка.