Дифференцирование функций, заданных неявно.
Пусть уравнение, связывающее x и y и удовлетворяющееся значениями x=x0 и y=y0, определяет y как неявную функцию от x. Для разыскания производной dy/dx в точке x=x0, y=y0 нет нужды искать явное выражение функции. Достаточно приравнять дифференциалы обеих частей уравнения и из полученного равенства найти отношение dy к dx.
Дифференцирование функций, заданных параметрически.
Предположим, что функция y от х задана параметрически уравнениями x=x(t), y=y(t), причем в некоторой области изменения параметра t функции x(t) и y(t) дифференцируемы и x'(t)?0.
Найдем производную у'x. Как мы знаем у'x = dy/dx. Так как dx = x'(t)dt, dy = y'(t)dt, то
y'x = dy/dx = y'(t)dt/x'(t)dt = y'(t)/x'(t) = y't/x't.
Таким образом, dy/dx = y't/x't. Эта формула позволяет находить производную функции, заданной параметрически.
Дифференциал функции.
Пусть приращение функции y=f(x) разбито на сумму двух членов: ?y = A ?x+?, где А не зависит от ?x (т.е. постоянно при данном значении аргумента x) и ? имеет высший порядок относительно ?x (при ?x > 0).
Тогда первый член, пропорциональный ?x, называется дифференциалом функции f(x) и обозначается dy или df(x).
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
Уравнение вида X1Y1dx +X2Y2dy = 0, где функции X1 и X2 зависят только от x (одна из них или обе могут быть постоянными; то же для функций Y1, Y2), а функции Y1, Y2 - только от y, приводится к виду ydx - xdy = 0 делением на Y1X2. Процесс произведения называется разделением переменных.
Площадь криволинейной трапеции.
Фигура, ограниченная прямыми y=P; x=a, x=b и графиком непрерывной и неотрицательной на [a, b] функции f(x), называется криволинейной трапецией. Площадь криволинейной трапеции
равна
?f(x)dx; ?f(x)dx - ?g(x)dx
Дифференциальные однородные уравнения первого порядка.
ДУ первого порядка называется однородным, если оно может быть представлено в виде y' = g (y/x).
Однородное ДУ преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными при помощи замены z=y/x; y=z*x, то y'=z'x+z, поэтому уравнение y'=g(y/x) преобразуем к виду z'x+z=g(z); dz*x/dx=g(z)-z; dz(g(z)-z)=dx/x.
Найдя его общее решение следует заметить в нем z на y/x.
Однородное ДУ часто задается в дифференциальной форме: P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0.
ДУ будет однородным, если P(x;y) и Q(x;y) - однородные функции одинакового порядка.
Переписав уравнение в виде dy/dx=-P(x;y)/Q(x;y) и переменив в правой части рассмотренное выше преобразование получим уравнение y'=g(y/x).
При интегрировании уравнения P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0 нет необходимости предварительно приводить их к виду y'=g(y/x): подстановка z=y/x сразу преобразует уравнение P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0 в уравнение с разделяющимися переменными.
