Дифференциальные уравнения параболического типа. - Система Mathcad
Полная версия

Главная arrow Информатика arrow Система Mathcad

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>

Дифференциальные уравнения параболического типа.

Для решения дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа можно построить группу решения с функцией pdesolve. Такая группа решения состоит из следующих элементов.

1. Ключевое слово given

2. Уравнение, которое нужно решить. Уравнение должно иметь такой вид: . Для ввода производных в данном случае нельзя пользоваться обычным оператором производной, а нужно пользоваться нижним индексом, как это обычно делается в литературе для записи уравнений в частных производных. При этом нижний индекс набирается не как числовой, а как буквенный (точка).

3. Граничные условия для функции u(x,t). Если уравнение второго порядка по x, то граничных условий должно быть два. Можно использовать как граничные условия Дирихле (u(x0,t) = w(t)), так и граничные условия Неймана (ux(x0,t) = w(t)) или их комбинацию, как в вышеприведенном примере.

4. Начальное значение для неизвестной функции - u(x,0).

5. функция pdsolve(u,x,xrange,t,trange,xpts,tpts). Ее аргументы имеют следующее назначение

- u - имя функции, относительно которой решается уравнение. Для системы уравнений здесь должен быть вектор имен функций (как в odesolve).

- X- имя пространственной переменной.

- Xrange - двухкомпонентный вектор, задающий начало и конец интервала изменения пространственной переменной.

- T - имя временной переменной. Основная разница между пространственной и временной переменными в данном случае - это то, что все уравнения могут содержать только первые производные по временной переменной.

- Trange - еще один двухкомпонентный вектор. Этот вектор задает начало и конец временного интервала, на котором решается задача.

- Xpts, tpts - количество точек, разбивающих для интегрирования пространственный и временной интервалы соответственно. Эти два параметра можно не указывать, тогда количество точек будет выбрано автоматически из соображений достаточной точности. Рекомендуется задавать эти параметры во всех задачах, кроме простых, поскольку во многих случаях высокая точность вычислений теряет смысл из-за погрешности, вносимой самим методом.

Выше приведен пример решения одномерной задачи теплопроводности для одного бруска, один конец которого теплоизолирован, а ругой поддерживается при определенной температуре

Дифференциальные уравнения гиперболического типа.

Функция pdsolve также позволяет решать системы ДУ в частных производных первого порядка по времени. Такая возможность может быть использована для решения задач с ДУ гиперболического типа. Ведь поскольку уравнения гиперболического типа содержат вторую производную по времени, то они не могут быть напрямую введены для решения функцией pdsolve. ДУ гиперболического типа должно быть приведено к системе из двух уравнений первого порядка по времени (как это делалось ранее для обычных ДУ высоких порядков). А далее полученная задача может быть решена с помощью функции pdsolve как система уравнений.

Помимо вычислительного блока given/pdsolve, для решения параболических и гиперболических уравнений можно использовать встроенную функцию numol.

 
Перейти к загрузке файла
<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>