Численные методы решения задач. Обработка экспериментальных данных средствами MathCAD, Решение нелинейных уравнений - Система Mathcad
Полная версия

Главная arrow Информатика arrow Система Mathcad

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>

Численные методы решения задач. Обработка экспериментальных данных средствами MathCAD

Развитие электронной вычислительной техники, создание алгоритмических языков программирования и обширного математического обеспечения ЭВМ позволяет широко использовать численные методы вычислительной математики при решении различного рода прикладных задач в науке, технике, производстве.

Численные методы - это методы решения задач через последовательность элементарных операций, которые многократно повторяются до тех пор, пока не будет получен конечный результат с наперед заданной точностью.

Численными методами часто приходится решать следующие математические задачи:

1. решение нелинейных (алгебраических и трансцендентных) уравнений;

2. вычисление определенных интегралов;

3. решение обыкновенных дифференциальных уравнений;

4. решение дифференциальных уравнений в частных производных;

5. решение задач оптимизации;

6. обработка массивов числовых данных.

Каждая из этих задач может представлять собой самостоятельную прикладную задачу или являться составной частью более сложных прикладных задач.

Решение нелинейных уравнений

Обычно нелинейные уравнения делят на трансцендентные и алгебраические. Нелинейные уравнения, содержащие тригонометрические функции или другие специальные функции, например, lg(x) или ex, называются трансцендентными. Методы решения нелинейных уравнений такого типа делятся на аналитические и численные.

Первые позволяют найти решение непосредственно с помощью формул и всегда обеспечивают получение точного решения. Известным примером такого рода является формула корней квадратного уравнения. В численных методах задается процедура решения в виде многократного применения некоторого алгоритма. Задача отыскания корней нелинейного уравнения f(x) = 0 считается решенной, если мы сумеем определить корни с нужной степенью точности.

Для решения нелинейных уравнений известны следующие численные методы: метод половинного деления (метод дихотомии), метод хорд, метод касательных (Ньютона), метод секущих, метод простой итерации. Рассмотрим метод половинного деления.

Графическая интерпретация метода показана на рис.1.

Графическая интерпретация метода половинного деленияГрафическая интерпретация метода половинного деления

Рис.1 Графическая интерпретация метода половинного деления

В этом методе отыскание корня уравнения f(x) = 0 проходит в два этапа. На первом этапе необходимо отделить корень, т.е.выделить интервал на оси абсцисс, на котором функция f(x) меняет свой знак. Для отделения корня следует провести вычисление функции f(x) в точках, расположенных через равные интервалы по оси x, до тех пор, пока не будут найдены два последовательных значения функции f(xn) и f(xn+1), имеющие противоположные знаки.

На втором этапе производится уточнение корня. Найденный интервал [xn, xn+1], содержащий корень, делится пополам

Затем по разности знаков функции на концах интервала определяем, на каком из полученных двух интервалов находится корень уравнения. Найденный интервал снова делится пополам и т.д.. В результате интервал, на котором находится корень сужается. Процесс повторяется до тех пор, пока f(xср) не станет достаточно близким к нулю. Блок-схема алгоритма метода показана на рис.2.

Рис.2 Блок-схема алгоритма метода половинного деления

 
Перейти к загрузке файла
<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>