Численное интегрирование - Система Mathcad
Полная версия

Главная arrow Информатика arrow Система Mathcad

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>

Численное интегрирование

К численному интегрированию обращаются, когда нельзя через элементарные функции аналитически записать первообразную интеграла

или когда подобная запись имеет сложный вид.

Сущность большинства численных методов вычисления определенных интегралов состоит в замене подынтегральной функции f(x) аппроксимирующей функцией (x), для которой можно легко записать первообразную в элементарных функциях, т.е.

Используемые на практике методы численного интегрирования можно сгруппировать в зависимости от способа аппроксимации подынтегральной функции. Дадим краткую характеристику групп наиболее распространенных методов.

1. Методы Ньютона - Котеса. Эти методы требуют, чтобы значения x были заданы с постоянным шагом. Они основаны на полиномиальной аппроксимации подынтегральной функции. Алгоритмы методов просты и легко поддаются программной реализации.

2. Методы Гаусса - Кристоффеля - методы наивысшей алгебраической точности. Эти методы используют неравно отстоящие узлы, расположенные по алгоритму, обеспечивающему минимальную погрешность интегрирования. Требуют большего объема памяти, чем методы первой группы.

3. Методы Монте-Карло. В этих методах узлы выбираются с помощью датчика случайных чисел. Ответ носит вероятностный характер. Методы эффективны при вычислении большой кратности.

Рассмотрим методы первой группы. По этому методу интервал разбивается на n равных отрезков, длина каждого из которых . Для вычисления каждой элементарной площади подынтегральную функцию на данном отрезке заменяют с некоторой степенью точности более простой функцией, интеграл от которой можно вычислить, используя только ординаты на концах отрезка. Метод Ньютона -Котеса дает три формулы для приближенного вычисления определенного интеграла

1. При замене f(x) на каждом отрезке прямой, параллельной оси x (рис.3,а), получим формулу прямоугольников

2. При замене f(x) на каждом отрезке прямой, соединяющей ординаты концов отрезка (рис.3,б), получим формулу трапеций

3. При замене f(x) дугой параболы, проведенной через концы трех ординат (рис.3,в), получим формулу Симпсона. При этом число отрезков должно быть четным

Точность вычисления интеграла тем выше, чем больше n и меньше h, и в пределе при n h 0 указанные формулы дадут точную величину определенного интеграла.

Численное определение интегралаЧисленное определение интеграла

Рис.3 Численное определение интеграла

Блок схема алгоритма численного определения интеграла с заданной степенью точности представлена на рис. 4. На блок-схеме a,b,e,n - исходные данные, е - заданная точность, n - число разбиений, i1 - начальное значение интеграла, его можно задать равным нулю, I - вычисленное значение интеграла.

Для достижения заданной точности число разбиений удваивают до тех пор, пока будет удовлетворено условие |i - i1|<e.

Рис.4 Блок схема алгоритма численного определения интеграла с заданной степенью точности по формуле прямоугольников

 
Перейти к загрузке файла
<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>