Агрегативные модели функционирования БСУ.
Общая модель функционирования
Формализайия общей схемы процесса функционирования систем основана на следующих положениях. Дадим их формальную интерпретацию.
Множество моментов времени t, в которые рассматривается функционирование системы, обозначим Т. Множество Т является подмножеством множества действительных чисел и может быть непрерывным, дискретным (конечным или счётным) или дискретно-непрерывным.Функционирование системы во времени рассматривается как процесс перехода системы из состояния в состояние. Прежде необходимо определить множество состояний Z. Возможны различные способы определения состояний:
A. Состояние системы определяется как совокупность состояний элементов системы. Если элементы системы могут находиться в 2-х состояниях, то система из n элементов может находиться в одном из состояний. Так определяется состояние дискретных автоматов в ВТ, сложных систем при анализе надёжностных характеристик, кодирующих и декодирующих преобразователей в технике передачи данных и др. Таким образом, , где z-дискоетно.
B. Состояние системы характеризуется некоторым целым неотрицательным числом z (z =0, 1, 2, 3, …). Так определяется состояние при анализе сложных информационных систем с одной фазой обслуживания.
-- число задач, запросов, находящихся в системе (на обслуживании либо в очереди).
Состояние системы описывается набором целых неотрицательных чисел:
,
где -- число требований в -й фазе; -- число фаз.
Описание динамики многофазных, многоэтапных систем типа телеавтоматических систем массового обслуживания.
Состояние системы определяется набором действительных чисел.
Например, положение самолета можно в данный момент времени описать вектором фазовых координат , где -- наклонная дальность, -- азимут, -- угол места.
Состояние рассматриваемой БСУ описывается некоторым набором характеристик , где -- заданные множества, а множество возможных состояний БСУ определяется как прямое произведение множеств :
-- пространство состояний системы.
Аналогом пространства состояний в реальной физической интерпретации является трехмерное эвклидово пространство. В общем случае состояние в момент времени есть точка пространства с координатами .
На вход любой сложной системы могут поступать входные сигналы , где -- множество входных сигналов. Входной сигнал, поступающий в систему в момент , обозначим .
-- входной сигнал,
-- дискретное или непрерывное множество.
-- пространство входных сигналов,
входной сигнал -- точка пространства с координатами .
Множество входных сигналов ; при этом -- означает отсутствие сигнала в момент .
Отображение , противопоставляющее некоторый сигнал , будем называть входным процессом .
Система способна выдавать выходные сигналы , где -- множество сигналов.
Выходной сигнал в момент обозначим .
Если описывается набором таких, что , -- заданные множества, то -- пространство выходных сигналов .
Аналогично -- выходной процесс.
Мы будем рассматривать динамику только для классических БСУ, называемых системами без последействия.
Система без последействия -- система, будущее поведение которой определяется ее настоящим состоянием и не зависит от прошлого; иначе говоря, состояние системы без последействия в момент времени определяется ее состоянием и участком входного процесса за интервал , но не зависит от предыстории поведения системы, от того, каким образом система пришла в состояние .
Различают 2 класса БСУ без последействия:
Детерминистические
Стохастические
Динамика для детерминистических систем будет считаться заданной, если указаны оператор переходов , оператор выходов .
Оператор переходов определяет динамику переходов системы из состояния в состояние:
, где
-- начальное состояние, ;
-- множество всевозможных участков входного процесса , соответствующих интервалу .
При фиксированных и оператор реализующий отображение или множества во множество , которое называется движением системы. Множество всевозможных движений системы обозначим .
Совокупность упорядоченных пар для всех , где определяется заданным движением , называется фазовой траекторией системы. Совокупность точек пространства , соответствующих в силу отображения всем , называется траекторией системы в пространстве состояний.
Траектория системы является проекцией фазовой траектории на пространство . Оператор переходов должен удовлетворять следующим двум основным условиям:
;
, где и есть результат сочленения входных процессов и .
Второе условие, называемое условием однозначности, позволяет разбивать входной процесс на произвольные сочлененные между собой участки и анализировать поведение системы на любом участке отдельно, что упрощает процедуру исследования систем.
Оператор выходов системы определяет динамику выходных сигналов:
.
Оператор из ставит в соответствие определенный элемент (пространства состояний).
Однако, на выходе может быть (отсутствие выходного сигнала в момент ).
Для задания обобщенной динамики БСУ задается оператор функционирования системы, а совокупность точек пространства , соответствующих всем , определяют как траекторию функционирования.
Для задания динамики стохастических систем без последействия обычно вводят понятие случайного оператора.
Пусть -- пространство элементарных случайных событий с вероятностной мерой , где -- элементарное случайное событие. Тогда операторы переходов и выходов сложной стохастической системы без последействия обычно задаются в виде случайных операторов:
;
,
где -- элементарные случайные события, которые независимо выбираются из в соответствии с вероятностными мерами , , .
При этом, если и фиксированы, то стохастическая система называется системой со случайными начальными состояниями;
Если и фиксированы, то стохастическая система называется системой со случайными переходами;
Если и фиксированы, то стохастическая система называется системой со случайными выходами;
В силу наличия случайных факторов в системе динамику стохастической системы в пространстве состояний можно описывать поведением случайного процесса с областью значения в множестве состояний системы .
Основной метод построения моделей функционирования БСУ состоит в функциональной декомпозиции системы, которая требует раскрытия структуры системы (состав элементов, их функций и их взаимодействия). Модель функционирования часто носит иерархический характер.
Такой подход во построении моделей функционирования систем разработан А.П. Бусленко (агрегативный подход).
Лекция 1. Управление в больших системах
