Оптимальное управление

Постановка задачи управления

В процессе функционирования сложных систем управления проблема принятия решения реализуется как проблема выбора управления, переводящего систем из заданного состояния в желаемое.

Качество выбираемого решения или стратегии поведения, то есть эффективность управления, определяется численным значением соответствующего показателя эффективности. Задача сводится к отысканию вектора X, достигающего экстремальное значение показателей качества управления - целевой функции F(X)

Если существует выбор оптимальной стратегии поведения, то X(t) - векторная функция и целевой функции J(X(t)).

На компоненты X и X(t) обычно накладываются ограничения.

Использование классических методов отыскания экстремума точек при решении практических задач оптимизации управления наталкивается на ряд трудностей:

Сложность аналитическая, представленная исследуемой функцией. Что затрудняет отыскание совокупности стационарных точек S₁={x: x [w,b]? ds/dx = 0} и множества точен, где производная не определена. С увеличением размерности необходимо решать систему уравнений частных производных от исследуемой функции по каждой из переменных.

(15)

Многоэкстремальность целевой функции.

Это типичная ситуация.

Наиболее выраженный из экстремумов - глобальный (наибольший из максимумов или наименьший из минимумов), остальные -локальные. Многоэкстремальность функции приводит к большому количеству решений (15), сложных решений. Обычно используют численные методы.

Метод Ньютона

Необходимые и достаточные условия экстремума:

. К стац. точкам относятся все точки, в которых функция достигает max или min, а также точки перегиба.

Наличие ограничений.

Это затрудняет отыскание на области допустимых значений определения аргументов.

Если экстремум функции достигается на <xxx> области <xxx> значений аргументов, то сумма ??? в этих точках не равна 0 (м. <xxx>). При решении <xxx> <xxx> <xxx> <xxx> стационарных точек <xxx> <xxx> <xxx> не определенных) необходим анализ всех крайних точек.

Рис. 24

Пусть X = {x₁, x₂, …, x_n} - вектор, компонентами которого являются варьируемые переменные. Тогда ограничения делятся на:

Ограничения I-го типа (прямые): aj ? xj ? bj, j = 1, 2, …, n

Частный случай прямых ограничений - ограничения на знак переменных: x_j ? 0, j = 1, 2, …, n

Ограничения II-го типа (функциональные): gi(x1, x2, …, xn) = 0, i = 1, 2, …, m

Могут быть неравенства - от них можно перейти к равенствам, введя дополнительные переменные.

Если вектор X имеет размерность n, то при наличии только прямых ограничений, число крайних точек допустимого множества равен 2ⁿ и растет с увеличением n.

Целочисленность переменных

Обычно, область определения критериальной функции является дискретной (переменные - неделимые объекты).

Методы отыскания экстремумов, связанные с вычислением производных, использующие непрерывные функции, неприменимы.