Задача оптимального управления.
Отыскать управление U*(t) = (u*1(t), u*2(t), …, u*r(t)), принадлежащее -области, доставляющее экстремальное значение некоторому критерию эффективности Ф и обладающее тем свойством, что соответствующая выбранному управлению траектория X(t) = (x1(t), x2(t), …, xn(t)) в фазовом пространстве принадлежит S-области.
Т.обр., численное значение критерия эффективности зависит от характера функций U(t) и X(t), т.е.
(18) Ф = Ф[U(t), X(t)] - есть функционал U(t) и X(t).
Методы решения задач оптимального управления существенно зависят от структуры оптимизируемого функционала и характера ограничений. Обычно ограничения на X(t) X(tн) = Xн, X(tк) = Xк (траектория должна проходить через одну или две заданные точки).
Это задачи с закреплёнными концами.
Эти задачи, а также задачи, в которых ограничения на U(t) и X(t) отсутствуют, могут быть решены методами классического вариационного исчисления.
Основные принципы вариационного исчисления
Рассмотрим простейшую задачу вариационного исчисления.
Задан функционал вида
(19)
зависящий от функции y(x), определённой на интервале (x1, x2). Необходимо отыскать непрерывную функцию y(x) с непрерывной первой производной, проходящей через две фиксированные точки (x1, y(x1)), (x2, y(x2)) и доставляющую экстремум (19).
Пусть для определённости необходимо обеспечить максимум (19).
Стандартный способ решения состоит в следующем. Сначала предполагают, что искомая максимальная функция y(x) уже найдена. Тогда любое отклонение от y(x) даёт меньшее значение I. Далее, выберем любую функцию Z(x), которая обращается в ноль при x=x1 и x=x2 и образуем y*(x) = y(x) + z(x) ( - малый параметр).
Z(x) называется вариацией функции y(x) и обозначается y.
Подставив y*(x) в (19)
(20)
(20) для выбранной функции z(x) зависит только от . Т.к. I() достигает максимума при =0, то производная по при =0 должна обращаться в 0, т.е.
.
Но
Интегрируя второе слагаемое по частям, имеем
Поскольку z(x1) = z(x2) = 0, то, обозначая и , получаем
(21)
(21) должно выполняться для любой функции z(x).
Отсюда дифференциальное уравнение Эйлера:
(22)
Имея в виду, что перепишем (22) в виде
(23)
(24)
Решения уравнения Эйлера называют экстремалями.
(24) представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение 2-го порядка, интегрировать которое довольно сложно.
Рассмотрим некоторые частные случаи, когда интегрирование упрощается.
Функция F не зависит от x. При этом функционал (19) приобретает вид
(25)
Тогда в (24) и
(26)
Умножив почленно правую и левую части (26) на y'
Отсюда
(27)
называется 1-м интегралом уравнения Эйлера. Это уравнение 1-го порядка не содержит явно x и потому может быть проинтегрировано, например, путём разделения переменных или путём введения параметра.
Функция F не зависит от y, т.е. рассматривается функционал
В этом случае уравнение Эйлера или
Откуда
(28)
Дифференциальное уравнение 1-го порядка легко интегрируется.
Функция F зависит только от y', т.е.
(29)
При этом в (24) и уравнение Эйлера имеет вид
(30)
Отсюда , т.к. . Тогда y = C1x + C2 - семейство прямых линий.
Пример. Найти кратчайшую траекторию из точки A(x1, y1) в точку B(x2, y2).
Длина дуги кривой y(x), соединяющей A и B, определяется функционалом
(31)
Имеем (7).
Уравнение Эйлера: , откуда y = C1x + C2.
С1 и С2 находятся из условия.
y1 = C1x1 + C2 ; y2 = C1x2 + C2
Отсюда
(32)
При этом уравнение экстремали представляет собой уравнение прямой
, проходящей через точки A и B.
