Главная Прочее
Проблемы автоматизированной обработки информации
|
|
|||||
Задача оптимального управления.Отыскать управление U*(t) = (u*1(t), u*2(t), …, u*r(t)), принадлежащее -области, доставляющее экстремальное значение некоторому критерию эффективности Ф и обладающее тем свойством, что соответствующая выбранному управлению траектория X(t) = (x1(t), x2(t), …, xn(t)) в фазовом пространстве принадлежит S-области. Т.обр., численное значение критерия эффективности зависит от характера функций U(t) и X(t), т.е. (18) Ф = Ф[U(t), X(t)] - есть функционал U(t) и X(t). Методы решения задач оптимального управления существенно зависят от структуры оптимизируемого функционала и характера ограничений. Обычно ограничения на X(t) X(tн) = Xн, X(tк) = Xк (траектория должна проходить через одну или две заданные точки). Это задачи с закреплёнными концами. Эти задачи, а также задачи, в которых ограничения на U(t) и X(t) отсутствуют, могут быть решены методами классического вариационного исчисления. Основные принципы вариационного исчисленияРассмотрим простейшую задачу вариационного исчисления. Задан функционал вида (19) ![]() ![]() зависящий от функции y(x), определённой на интервале (x1, x2). Необходимо отыскать непрерывную функцию y(x) с непрерывной первой производной, проходящей через две фиксированные точки (x1, y(x1)), (x2, y(x2)) и доставляющую экстремум (19). Пусть для определённости необходимо обеспечить максимум (19). Стандартный способ решения состоит в следующем. Сначала предполагают, что искомая максимальная функция y(x) уже найдена. Тогда любое отклонение от y(x) даёт меньшее значение I. Далее, выберем любую функцию Z(x), которая обращается в ноль при x=x1 и x=x2 и образуем y*(x) = y(x) + z(x) ( - малый параметр). Z(x) называется вариацией функции y(x) и обозначается y. Подставив y*(x) в (19) (20) ![]() ![]() (20) для выбранной функции z(x) зависит только от . Т.к. I() достигает максимума при =0, то производная по при =0 должна обращаться в 0, т.е. . Но ![]() ![]() ![]() ![]() Интегрируя второе слагаемое по частям, имеем ![]() ![]() Поскольку z(x1) = z(x2) = 0, то, обозначая и , получаем ![]() ![]() (21) ![]() ![]() ![]() ![]() (21) должно выполняться для любой функции z(x). Отсюда дифференциальное уравнение Эйлера: (22) ![]() ![]() ![]() ![]() Имея в виду, что перепишем (22) в виде (23) ![]() ![]() (24) ![]() ![]() Решения уравнения Эйлера называют экстремалями. (24) представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение 2-го порядка, интегрировать которое довольно сложно. Рассмотрим некоторые частные случаи, когда интегрирование упрощается. Функция F не зависит от x. При этом функционал (19) приобретает вид (25) ![]() ![]() Тогда в (24) и ![]() ![]() (26) Умножив почленно правую и левую части (26) на y' ![]() ![]() ![]() ![]() Отсюда (27) называется 1-м интегралом уравнения Эйлера. Это уравнение 1-го порядка не содержит явно x и потому может быть проинтегрировано, например, путём разделения переменных или путём введения параметра. Функция F не зависит от y, т.е. рассматривается функционал ![]() ![]() В этом случае уравнение Эйлера или ![]() ![]() ![]() ![]() Откуда (28) Дифференциальное уравнение 1-го порядка легко интегрируется. Функция F зависит только от y', т.е. (29) ![]() ![]() ![]() ![]() При этом в (24) и уравнение Эйлера имеет вид (30) ![]() ![]() ![]() ![]() Отсюда , т.к. . Тогда y = C1x + C2 - семейство прямых линий. Пример. Найти кратчайшую траекторию из точки A(x1, y1) в точку B(x2, y2). Длина дуги кривой y(x), соединяющей A и B, определяется функционалом (31) ![]() ![]() Имеем (7). Уравнение Эйлера: , откуда y = C1x + C2. С1 и С2 находятся из условия. y1 = C1x1 + C2 ; y2 = C1x2 + C2 Отсюда (32) ![]() ![]() При этом уравнение экстремали представляет собой уравнение прямой ![]() ![]() , проходящей через точки A и B. |
<< | СОДЕРЖАНИЕ | >> |
---|