Задача оптимального управления.

Отыскать управление U*(t) = (u*1(t), u*2(t), …, u*r(t)), принадлежащее -области, доставляющее экстремальное значение некоторому критерию эффективности Ф и обладающее тем свойством, что соответствующая выбранному управлению траектория X(t) = (x₁(t), x₂(t), …, x_n(t)) в фазовом пространстве принадлежит S-области.

Т.обр., численное значение критерия эффективности зависит от характера функций U(t) и X(t), т.е.

(18) Ф = Ф[U(t), X(t)] - есть функционал U(t) и X(t).

Методы решения задач оптимального управления существенно зависят от структуры оптимизируемого функционала и характера ограничений. Обычно ограничения на X(t) X(t_н) = Xн, X(t_к) = X_к (траектория должна проходить через одну или две заданные точки).

Это задачи с закреплёнными концами.

Эти задачи, а также задачи, в которых ограничения на U(t) и X(t) отсутствуют, могут быть решены методами классического вариационного исчисления.

Основные принципы вариационного исчисления

Рассмотрим простейшую задачу вариационного исчисления.

Задан функционал вида

(19)

зависящий от функции y(x), определённой на интервале (x₁, x₂). Необходимо отыскать непрерывную функцию y(x) с непрерывной первой производной, проходящей через две фиксированные точки (x₁, y(x₁)), (x₂, y(x₂)) и доставляющую экстремум (19).

Пусть для определённости необходимо обеспечить максимум (19).

Стандартный способ решения состоит в следующем. Сначала предполагают, что искомая максимальная функция y(x) уже найдена. Тогда любое отклонение от y(x) даёт меньшее значение I. Далее, выберем любую функцию Z(x), которая обращается в ноль при x=x₁ и x=x₂ и образуем y*(x) = y(x) + z(x) ( - малый параметр).

Z(x) называется вариацией функции y(x) и обозначается y.

Подставив y*(x) в (19)

(20)

(20) для выбранной функции z(x) зависит только от . Т.к. I() достигает максимума при =0, то производная по при =0 должна обращаться в 0, т.е.

.

Но

Интегрируя второе слагаемое по частям, имеем

Поскольку z(x₁) = z(x₂) = 0, то, обозначая и , получаем

(21)

(21) должно выполняться для любой функции z(x).

Отсюда дифференциальное уравнение Эйлера:

(22)

Имея в виду, что перепишем (22) в виде

(23)

(24)

Решения уравнения Эйлера называют экстремалями.

(24) представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение 2-го порядка, интегрировать которое довольно сложно.

Рассмотрим некоторые частные случаи, когда интегрирование упрощается.

Функция F не зависит от x. При этом функционал (19) приобретает вид

(25)

Тогда в (24) и

(26)

Умножив почленно правую и левую части (26) на y'

Отсюда

(27)

называется 1-м интегралом уравнения Эйлера. Это уравнение 1-го порядка не содержит явно x и потому может быть проинтегрировано, например, путём разделения переменных или путём введения параметра.

Функция F не зависит от y, т.е. рассматривается функционал

В этом случае уравнение Эйлера или

Откуда

(28)

Дифференциальное уравнение 1-го порядка легко интегрируется.

Функция F зависит только от y', т.е.

(29)

При этом в (24) и уравнение Эйлера имеет вид

(30)

Отсюда , т.к. . Тогда y = C₁x + C₂ - семейство прямых линий.

Пример. Найти кратчайшую траекторию из точки A(x₁, y₁) в точку B(x₂, y₂).

Длина дуги кривой y(x), соединяющей A и B, определяется функционалом

(31)

Имеем (7).

Уравнение Эйлера: , откуда y = C₁x + C₂.

С₁ и С₂ находятся из условия.

y1 = C₁x₁ + C₂ ; y₂ = C₁x₂ + C₂

Отсюда

(32)

При этом уравнение экстремали представляет собой уравнение прямой

, проходящей через точки A и B.