Каноническая форма уравнений Эйлера, Вариационные задачи при наличии ограничений, Метод неопределённых множителей Лагранжа - Проблемы автоматизированной обработки информации
Полная версия

Главная arrow Прочее arrow Проблемы автоматизированной обработки информации

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>

Каноническая форма уравнений Эйлера

Введём в уравнение Эйлера

(33)

так называемые канонические переменные p и H в соответствии с выражениями

(34)

Т.к. во второе слагаемое H переменная y явно не входит, то

(35)

Кроме того

(36)

Подставляя (34) и (35) в (33), имеем

(37)

Присоединяя (37) к (36), получаем систему двух уравнений 1-го порядка, эквивалентную уравнению Эйлера 2-го порядка.

(38) ;

Система называется гамильтоновой, или канонической, формой уравнения Эйлера. Заметим, что функция H достигает экстремума по y одновременно с функционалом I, т.е. уравнение Эйлера определяет условие экстремума функции H. В самом деле, т.к. ф-я H не зависит от y', поскольку

, то

Таким образом, необходимое условие экстремума H выполняется при тех условиях, что и уравнение Эйлера.

Вариационные задачи при наличии ограничений

Функционалы, соответствующие критерию оптимальности, зависят от n+r … функций, т.е.

Эти функции не являются независимыми. X(t) является следствием уравнения U(t), т.к. они связаны уравнением движения системы. Поэтому X(t) и U(t) не могут варьироваться независимо и в этих случаях для определения экстремума функционала нельзя непосредственно использовать уравнение Эйлера.

Задачи, в которых необходимо отыскать экстремум функционала, зависящего от нескольких функций, связанных между собой каким-либо дополнительным соотношением, называются вариационными задачами на условный экстремум.

Эти задачи, также как и задачи классического математического анализа, решаются с помощью метода неопределённых множителей Лагранжа.

Метод неопределённых множителей Лагранжа

Отыскать вектор X, доставляющий экстремум целевой функции

F(X) = F(x1, x2, …, xn) (1)

И удовлетворяющий системе ограничений в форме равенств

g1(x1, x2, …, xn) = 0,

gm(x1, x2, …, xn) = 0 (2)

Cформируем функцию Лагранжа Ф(X) следующим образом:

(3)

где - неопределённые множители Лагранжа.

Теперь исходная задача отыскания условного экстремума F(X) заменяется задачей отыскания безусловного экстремума функции Лагранжа , которая уже может быть решена обычным образом: взятие частных производных и приравнивание нулю.

Действительно, получаем систему из (n+m) уравнений с таким же количеством неизвестных:

(4)

Пусть область S состоит из всех X, для которых выполняются ограничения (2), тогда понятно, что для XS

(5)

т.к. gi(x1, x2, …, xn) = 0

С другой стороны, замечаем, что экстремальная точка функции Лагранжа X*S, т.к. (2) входят в (4). Отсюда с учётом (4) получаем требуемое: экстремальная точка функции Лагранжа , получаемая в результате решения системы уравнений (4) определяет набор {x*j}, удовлетворяющий ограничениям (2) и доставляющий экстремальное значение целевой функции (1).

Пример. (Задача Д…)

Отыскать набор {x1, x2}, максимизирующий целевую функцию F(x1, x2) = x1x2 и удовлетворяющий ограничению 2x1 + x2 = C.

Решение. Формируем функцию Лагранжа

Беря частные производные по x1, x2 и , образуем систему уравнений

(6)

Выразив x1 и x2 из первых двух уравнений системы (6) через , подставим полученные значения в третье уравнение и решим его относительно .

При этом =c/4, откуда, используя первые два уравнения системы (6),

x1=c/4

x2=c/2

Пусть исходная задача состоит в отыскании экстремума функционала

,

причём функции x(t) и u(t) связаны между собой соотношениями вида

Тогда составляется вспомогательный функционал

где - неопределённые функции,

Этот функционал исследуется уже на безусловный экстремум. В результате получаем систему из n+r уравнений Эйлера:

(1)

дополненную уравнениями связей

(2)

Решения (1) совместно с (2) дают искомые экстремали.

Несмотря на наличие методов решения вариационных задач на условный экстремум, необходимо отметить, что возможности классического вариационного исчисления заметно сокращаются в задачах, где на траектории x(t) и u(t) накладываются какие-либо ограничения.

В самом деле, пусть рассматривается задача отыскания экстремума функционала

(3)

и ограничения (4)

Равенство определяет границу допустимой области, только внутри которой может находиться функция, доставляющая экстремум функционалу.

Ограниченная область, включающая и свою границу, называется замкнутой.

Если же точки границы в допустимую область не входят, то область называет открытой.

Основное необходимое условие экстремума (уравнение Эйлера) выводилось в предположении о свободе варьирования, т.е. считалось, что если y(x) - экстремаль, то y(x)+z(x) и y(x)-z(x) - допустимые функции и можно сравнивать значение функционала (3) на экстремали y(x) со значением его на y(x)+z(x) и y(x)-z(x). Однако, это не всегда возможно, т.к. если y(x) проходит на некотором участке X0 по границе допустимой области, т.е. y(x)=(x), xX0, то функция y(x)-z(x), где >0, на этом участке уже выйдет за пределы допустимой области.

Таким образом, для замкнутой допустимой области вывод уравнения Эйлера становится некорректным, а экстремаль, найденная из уравнения Эйлера, уже может не определять оптимальную реализуемую траекторию.

При наличии ограничений типа (4) экстремум функционала может достигаться на кривых, составленных из кусков экстремалей и кусков границы допустимой области.

 
Перейти к загрузке файла
<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>