Задачи принятия решений на расширенных множествах по скалярному критерию

Постановка задач

В (1.7) предполагалось, что все элементы P, G, D, y⁰ и множества U^f, H определены, при которых задача сводится к перебору всех управлений uU^f для выбора оптимального решения или к перебору до первого выполнения условий толерантности при поиске допустимого решения.

На практике важным является случай, когда названные элементы шестёрки не определены, но их можно задать различными способами в виде некоторых множеств, имеющих различную мощность.

Такие задачи возникают практически всегда в начальный период проектирования СУ.

Определение 1. Пусть A_i - любой из элементов (множеств) шестёрки

(2.1)

Назовём расширенным множеством задачи принятия решений:

если любой элемент (множество) удовлетворяет всем свойствам соответствующего элемента (множества) шестёрки (2.1)

если для любых двух элементов (множеств) Ai и Aj имеет место условие:

или (для множеств) при , то найдутся такие элементы и , что , т.е. элементы A_i и A_j в задаче принятия решений не тождественны.

Введём для задач принятия решений следующие обозначения расширенных множеств:

P - всех используемых выходных функций P;

G - всех используемых оценочных функций G;

D - всех используемых функций допустимости

Y - всех используемых множеств входных условий Y;

U - всех используемых допустимых областей управления

H - всех используемых областей неопределённости.

Задача принятия решений на расширенных множествах методически идентична классической задаче принятия решений , но при значительно большей размерности и при наличии дополнительных оценочных функций. Эти функции имеют смысл сложности.

В то же время введение расширенных множеств позволяет сформулировать и формализовать новые задачи.

Рассмотрим ряд задач, полагая, что в (2.1) присутствует лишь одно расширенное множество и что достаточно ограничиться поиском допустимого решения.

Задача. Идентификация типов внешних воздействий

Пусть имеется шестёрка

<P(Y), G(Y), D(Y), Y, U^f(Y), H(Y)> , в которой расширенным множеством является множество всех возможных множеств входных условий Y . Поскольку выбор конкретного YY может привести к изменению P, G и других компонентов шестёрки, введём запись P(Y), G(Y) и т.д., которую далее целесообразно заменить более простой, выделяя в шестёрке лишь рассматриваемые элементы:

<P, G, D, Y, U^f, H>

Для данной шестёрки имеет смысл следующая задача принятия решений: Найти такое подмножество Y'Y , любой элемент которого y'Y'позволяет определить элемент u⁰U^f и соответствующий ему элемент x⁰X так, что для любого hH будет выполнено неравенство (1.6).

и условие (2.2)

где - некоторый априори заданный показатель эффективности выбора Y' из Y.

Далее сформулируем постановку задачи более кратко: Для шестёрки <P, G, D, Y, U^f, H> найти такое подмножество Y'Y , любой элемент y' которого удовлетворяет условиям <y', u⁰, x⁰>S и (2.2).

Отношение порядка: количественное превосходство, предшествование, подчинённость, включение, предпочтение.

Запись вида (2.2) означает, что Y' предпочтительнее, чем Y, где Y - любое из подмножеств в Y и Y'Y.

Рис. 32 Выбор типа внешних воздействий

Орграф на рисунке 2.1 - процедура выбора типа внешних воздействий. Этот орграф в сравнении с классической задачей (рисунок 1.2) имеет более развитую структуру.