Введение

В данной работе рассматривается поведение частицы в поле Кулона-Дирака, возмущенном однородными магнитными и неоднородными электрическими полями. Необходимо исследовать задачу на собственные значения в гильбертовом пространстве для следующего гамильтониана частицы:

, (1)

где гамильтониан задается соотношением , - малый параметр, характеризующий напряженность поля и заряд частицы; функция определяет аксиальное возмущение данного поля Кулона-Дирака, причем . На магнитный заряд накладывается условие квантования , где , .

Известно [1], что алгебра, возникающая при рассмотрении данной задачи, является алгеброй с квадратичными коммутационными соотношениями. Каждому представлению полученной алгебры можно поставить в соответствие спектральный кластер около уровня энергии невозмущенной частицы. Состояния системы (1) вблизи границ спектральных кластеров требуют дополнительного исследования, так как к ним невозможно применить стандартные интегральные представления.

Метод нахождения асимптотики спектра вблизи границ спектральных кластеров был предложен в работах [2], [3], где рассматривалась спектральная задача для двумерного возмущенного осциллятора [4] и задача о спектре атома водорода [5]. Этот метод был применен в данной работе для нахождения асимптотики спектра вблизи нижних границ спектральных кластеров для задачи (1) . Кроме того, формула, полученная для асимптотики собственной функции, будет глобальной.

Цель данной работы - найти асимптотику решения спектральной задачи

, (2)

в области отрицательных энергий .

Введя предположение, что , и произведя регуляризацию задача (2) сводится к спектральной задаче

(3)

в гильбертовом пространстве , в котором скалярное произведение определяется следующим равенством:

(4)

где - скалярное произведение в . Для определяется оператор «действие» , где .

Оператор задается формулой .

Спектр оператора в гильбертовом пространстве составлен из чисел

где собственные значения кратны .

Так как собственные числа оператора - арифметическая прогрессия, то его название оператор «действия» является корректным.