Квантовое усреднение

В работах [1], [6] описана схема квантового усреднения. Следуя ей, находим обратимый оператор и операторы с точностью , которые задаются следующими формулами:

Получившийся оператор называется усредненным оператором. Так как оператор коммутативен старшей части , то решение спектральной задачи для оператора с точностью можно свести к решению спектральной задачи для оператора на собственных подпространствах оператора .

Для первого приближения по справедливо:

где

В итоге спектральная задача (3) с точностью приводится к новой спектральной задаче

Причем, . Собственные значения задачи (3) удовлетворяют следующему равенству , а связь между ее собственными функциями и собственными функциями задачи (4) определяется как . Здесь операторы , задаются явными формулами.

Следует отметить, что по построению операторы и коммутируют. Операторы и оба коммутируют с оператором момента , откуда вытекает, что коммутирует с . В итоге, в задаче возникает операторная алгебра Карасева-Новиковой [1], в которой находятся все операторы, коммутирующие с и . Образующие этой алгебры подчиняются следующим коммутационным соотношениям:

Запишем усредненный оператор , как функцию, зависящую от образующих операторной алгебры :

,

при условии, что .

Задачу (4) можно рассматривать отдельно на каждом собственном подпространстве операторов и . Тогда все сводится к задаче

(5)

, где n,m - квантовые числа.

Когерентное преобразование

Для решения полученной задачи (5) необходимо использовать когерентное преобразование

,(6)

где - это гипергеометрическое когерентное состояние, которое определяется следующим образом . - функция Бесселя [7], а весовая функция выражается через гипергеометрическую функцию определенным образом.

Пусть k,m,n - целые числа, . Введена функция

Где F-гипергеометрический ряд [7]

Операция определяется формулой , а - нормировочная константа:

А именно, весовая функция - это решение следующего гипергеометрического уравнения:

Когерентное преобразование взаимно-однозначно отображает пространство на пространство ?? антиголоморфных полиномов над ? степени не выше с нормой .

Таким образом, после когерентного преобразования образующие , , , , становятся дифференциальными операторами первого и второго порядка, которые удовлетворяю следующим соотношениям:

Также необходимо, чтобы соблюдалось условие

. (7)

Формула когерентного преобразования ( 6) позволяет точно найти решения первых двух уравнений (5) при любых амплитудах Ц. Таким образом, достаточно решить лишь третье уравнение системы (5), которое после когерентного преобразования в пространстве ?? имеет вид:

(8)

Здесь