Решение многоточечной спектральной задачи. Вычисление поправки в спектральной серии - Поведение частицы в поле Кулона-Дирака
Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow Поведение частицы в поле Кулона-Дирака

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>

Решение многоточечной спектральной задачи. Вычисление поправки в спектральной серии

Следующим этапом является построение асимптотического решения вблизи точек поворота .

Найдем точки поворота , как корни квадратного многочлена с коэффициентами, заданными формулой (18).

(35)

(36)

Из уравнения (12) следует, что около точек поворота

(37)

Из этого вытекает, что главные члены асимптотических разложений вблизи (35),(36) записываются через функции Эйри [12]:

, (38)

А , - константы.

Лемма 1 .

Вблизи точек асимптотическое решения уравнения (12) имеют вид (38). Следовательно, решение задачи (8) вблизи точек поворота будет иметь вид:

,

Затем необходимо построить решение уравнения (12) вблизи точки поворота и найти спектральную поправку .

Пусть . Разложим в ряд Тейлора в окрестности .

Сделав замены, уравнение (39) можно представить в следующем виде:

(40)

Асимптотическое решение уравнения (40) будем искать в виде:

(41)

Сделаем замену

. (42)

Тогда уравнение(40) принимает вид :

(43)

Главный член асимптотики находится из следующего уравнения:

(44)

Задаем коэффициент так, чтобы уравнение (44) приняло вид Вебера [7]:

. (45)

(46)

Теперь ищем .

(47)

В итоге, получаем уравнение Вебера для главных членов асимптотики

(48)

Известно [7], что его общее решение выражается через функции параболического цилиндра

(49)

Линии Стокса [9],[10] для уравнения (12) имеют следующий вид

Поскольку линии Стокса для для уравнения (12) имеют такой вид, то после согласования найденной асимптотики разложения, которые призводятся аналогично работе [3], приходим к условию:

(50)

Кроме того, получаем, что из (49) б2=0 и из (38) б2±=0.

Известно [12], что гамма-функция имеет полюсы только при

Найдем поправку в спектральной серии из уравнения связи (45)

(51)

Лемма 2. Спектральная поправка удовлетворяют следующему равенству

(52)

Из формул (49), (50) следует, что

(53)

Функции параболического цилиндра можно выразить через многочлены Эрмита [7]:

(54)

Теперь необходимо найти второй член в разложении (41). Из (40), (50),(53) следует, что удовлетворяет уравнению:

(55)

Предположим, что частное решение этого уравнения можно представить в следующем виде:

(56)

Тогда общее решение уравнения (55) имеет вид:

,(57)

где . из-за условия согласования функции с ВКБ-приближением. Пусть , при условии, что поправка порядка входит .

Найдем частное решение путем непосредственного дифференцирования.

Получили систему уравнений для коэффициентов

Таким образом, общее решение принимает следующий вид:

(58)

Или решение можно выразить посредством полиномов Эрмита:

(59)

Лемма 2.

Асимптотическое решение вблизи имеет вид (41), где задается формулой (54), а задается формулой (59).

Следующим шагом вычисляется норма решения. Для этого необходимо разложить функцию по степеням , с учетом замены (42) из-за справедливости равенства (10). определено формулой (11), для удобства проведём такие замены, что

(60)

(61)

Далее ищем разложение , где определено соотношением (41), а - это решение (8) вблизи -0.1, и получаем:

, (62)

(63)

(64)

Лемма 3.

Асимптотическое решение многоточечной спектральной задачи вблизи точки поворота имеет вид (62).

 
Перейти к загрузке файла
<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>