Проверка статистической гипотезы о существенности различий между дисперсиями

Задача проверки гипотезы о равенстве дисперсий возникает довольно часто. Например, при анализе стабильности производственного процесса до и после внедрения новой техники (колебания в выпуске продукции измеряется с помощью среднего квадратичного отклонения), при изучении степени однородности двух совокупностей относительно какого-либо признака (стажа работы, уровня производительности труда, продуктивности животных и т.п.). Чаще всего необходимость проверки гипотезы о равенстве дисперсий возникает при сравнении средних величин совокупностей, поскольку при этом в большинстве случаев предполагается, что генеральные дисперсии равны. Так как выборочные дисперсии, как правило, неравные в ходе проверки статистической гипотезы о равенстве средних необходимо проверить гипотезу о существенности различия дисперсий.

Гипотеза о равенстве дисперсий проверяется с помощью Г-критерия Фишера, который представляет собой отношение двух выборочных дисперсий и £22 при соответствующих степенях свободы вариации к1 и к2:

Этот критерий подробно рассматривается при изучении дисперсионного анализа (раздел 8). Поэтому мы здесь ограничимся лишь рассмотрением схемы применения критерия.

Критическое значение Га находится в специальных таблицах (прил. 4 и 5) с учетом указанных степеней свободы при заданном уровне значимости а. Для удобства вычислений эти таблицы составлены для отношений большей дисперсии к меньшей. Поэтому при определении выборочного значения гф^ всегда большую выборочную дисперсию необходимо делить на меньшую. Следовательно, всегда г > 1.

Для проверки нулевой гипотезы о равенстве дисперсий генеральных совокупностях (ро :<?1 =а; На:а^ *<в{) следует вычислить фактическое значение г-критерия и сравнить его с табличным значением. Поскольку дисперсии генеральных совокупностей неизвестны, то проверку выдвинутой гипотезы осуществляют на основе сравнения выборочных дисперсий ?2 и . При этом следует иметь в виду, что если отношение Зі2 : ?2 близко к единице, то, очевидно, нет оснований для отклонения нулевой гипотезы. Если это отношение значительно отличается от единицы, то данный факт может быть основанием для ее отклонения.

Проверка гипотезы Н0 сводится к следующему правилу: если фактическое значение критерия попадает в область допустимых значений (гфщ^ < га) нулевая гипотеза о равенстве дисперсий генеральных совокупностях принимается; если же фактическое значение критерия попадает в критическую область (гфакг > га), то от нулевой гипотезы следует отказаться.

Если альтернативная гипотеза формулируется так:: ои * <т2, то используется двусторонний критерий. Если же известно, что одна из дисперсий предсказуемо больше второй, то альтернативная гипотеза На :ои >эг2 и используется односторонний критерий.

Порядок проверки гипотезы о существенности разницы между дисперсиями рассмотрим на таком примере. Пусть, путем направленного отбора из местного стада овец выведена новая линия, характеризуется большей плодовитостью на одну матку. Для короткості исходную совокупность назовем группой И, а новую линию группой ii.

Предположим, установлено, что дисперсия в группе ii меньше (группа более однородна).

Для проверки существенности разности дисперсий отобрано такое количество животных:

при этом= 12,8; 8^ = 4,6.

Сформулируем нулевую и альтернативную гипотезы:

Уровень значимости примем равным а = 0,05. Определим фактическое значение Г-критерия:

Табличное значение Г-критерия при к1 = п1 - 1 = 25 - 1 = 24 и к2 = п2 --1 = 18 - 1 = 17, а = 0,05 составляет Гад5 = 2,19 (прил. 4).

Поскольку Гфщ^ > Г005; 2,78 > 2,19 нулевая гипотеза о равенстве дисперсий отклоняется. Это означает, что дисперсия признака в II группе существенно ниже.

Для больших выборок проверка гипотезы о равенстве дисперсий может быть проведена на основе Г-критерия нормального распределения:

Здесь мы рассмотрели лишь случай проверки гипотезы о равенстве двух дисперсий. Если же нужна оценка существенности различий ряда дисперсий, то применяются другие критерии:

а) критерий Кохрана, если численности выборок уровне;

б) критерий Бартлетта, если численности выборок неравны.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   След >