Математическое обобщение

Математическим обобщением, которые позволили достичь взлета механической концепции мира, были понятия производной, дифференциала и интеграла - основы для анализа бесконечно малых. Создавая анализ бесконечно малых, Ньютон исходил из понятия производной. прообразом была переменная скорость движущегося тела под действием силы.

Если тело движется по инерции, то движение происходит по закону, что связывает положение тела со временем, -то говорится о линейной зависимости этого положения от времени. Скорость на всем отрезке постоянная, она совпадает со скоростью в точке, и путь тела мы определяем, умножив время движения на эту неизменную скорость. Если же тело движется под влиянием неизменной силы, то постоянной является не скорость, а ускорение.

Ньютон обобщает понятие пути, пройденного частицей, и ее скорости и вводит понятие флюенты (сменной) и флюксия (скорости изменения флюенты, то есть производной этой переменной). У Ньютона не было отчетливого представления о флюксия как о границе отношение зависимой переменной к ее аргумента. Но Ньютон указал путь, ведущий к такому представлению, введя понятие, которые помогли сформулировать концепцию бесконечно малых переменных величин и производной как их предельного отношения. Предельное отношение, например предельное отношение пути ко времени, то есть скорость, с абсолютной точностью характеризует движение в данной точке и в данный момент времени. Констатация скорости в точке и вообще любого предельного отношение переменных величин не связана с каким-либо компромиссным игнорированием настоящей длины величин, бесконечно малые сохраняют свою длину, и мы определяем производную не как отношение этих переменных величин, а как границу, к которой приближается это отношение, когда переменные стремятся к нулю.

Ньютон выбрал путь, ведущий к представлению о бесконечно малых как переменные величины и к понятию границы, вводя "первые отношения" величин зарождающихся и

"последние отношения" исчезающих величин. Эти понятия фигурируют в "Размышлениях о квадратуры кривых" и в "Началах". Здесь речь идет отнюдь не о "последние отношения" величин в тот момент, когда мы признаем их достаточно малыми, чтобы пренебречь ими, речь идет о "последние отношения", к которым переменные величины направляются, не достигая их, то есть о предельных отношения.

В работе «Метод флюксий и бесконечных рядов" Ньютон рассматривает две задачи - определение флюксии за флюентами, например, мгновенной скорости по пройденному пути (то есть о задаче дифференцирования), и определение флюент за флюксиями, например, пути по скорости (то есть о задачу интегрирования) .

Ньютон ввел обозначения для производных: первую производную от величины X он обозначил X, вторую - X. Таким образом, если X - координата частицы, то ее скорость X, а ускорение X. Для производных по времени эти обозначения применяются и в наше время. Предложенные математические понятия представляют собой обобщение механических категорий. Соответственно, независимой переменной может быть любая величина, если рассматривать отношение к ней всех других величин, которые могут меняться как равномерно, так и произвольно. Подобное обобщение способствует становлению новых физических понятий. Представим себе, что независимой переменной является пространство, например, расстояние от центра тяжести, и нам нужно вычислить силу тяжести в каждой точке. В настоящее время известно, что решение подобных задач связано с представлением о силовом поле - пространство, где каждой точке соответствует определенное значение силы, действующей на единичную массу. Мы знаем также, что подобная формальная континуализация тяжести, заполняет пространство чисто математическими величинами, превратилась впоследствии на картину материальной среды, в котором сила передается от точки к точке (после того, как было доказано существование конечной скорости распространения взаимодействия). Таким образом, математическое обобщение механики дальнего действия способствовало созданию физики ближнего действия.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   След >