Аналитическая механика системы материальных точек и тел Лагранжа

Лагранж (1736-1813) окончательно порвал с геометрическими методами Ньютона и с гордостью згявляв1 что в его "Аналитической механике" практически отсутствуют какие-либо чертежи. "Я поставил себе цель, - пишет Лагранж, - свести теорию механики и методы решения связанных с ней задач в общих формул, простой развитие которых содержит все уравнения, необходимые для решения каждой задачи". Сам Лагранж характеризовал свои методы следующим образом: они "не требуют ни построений, ни геометрических или механических соображений, они нуждаются только планомерного и однообразного хода алгебраических операций. Все сторонники анализа (анализа бесконечно малых) с удовольствием убедятся в том, что механика становится новой отраслью анализа ". Эта характеристика означает, что аналитическая механика Лагранжа является отраслью анализа: она механикой, лишенной "механических соображений", потому что в ней указано общие методы составления уравнений для любой задачи механики, после чего решение становится чисто математической проблемой.

Как было отмечено выше, труд Эйлера - это механика материальной точки и динамика твердого тела. Лагранж объединил механику системы материальных точек и тел и создал одинаков и общий метод возведения механических задач к решению соответствующих математических задач. При этом он, естественно, исходил из определенных физических и экспериментальных положений.

"Механика" Лагранжа делится на две части: статику и динамику. Статика Лагранжа базируется на принципе виртуальных (возможных) скоростей. "В виртуальной скоростью нужно понимать скорость, которую тело находится в равновесии, способно приобрести в тот момент, когда равновесие нарушено, то есть ту скорость, которую тело фактически мало в первый момент своего движения". Принцип виртуальных скоростей Лаг-ранж формулирует следующим образом: "Если какая-либо система, состоящая из любого количества тел или точек, на каждую из которых действуют какие-либо силы, находится в равновесии, и если эта система приобретает любой которого малого движения, в результате которого каждая точка проходит бесконечно малый путь, представляет собой ее виртуальную скорость, то сумма сил, умноженных каждая соответственно на путь, который проходит в направлении силы точка, в которой эту силу приложено, всегда равна нулю, если малые пути, пройденные в направлении действия сил, считать положительными, а пройденные в противоположном направлении считать отрицательными ".

Вводя этот принцип, Лагранж ссылался на данные опыта. Он указывал на общий закон равновесия машин: отношение сил обратное к отношению скоростей точек, в которых они приложены, причем скорости должны измеряться в направлении действия сил. Это положение, взятое в общем виде, и является принципом виртуальных скоростей, который "можно рассматривать как своеобразную аксиому механики. Впрочем, Лагранж привел и два доказательства принципа виртуальных скоростей, один из которых основан на" принципе блоков ".

В динамике Лагранж опирается на два закона: закон инерции и закон сложения движений (по правилу параллелограмма). Второй закон механики Ньютона Лагранж выводит из этих двух законов.

Аналитическая динамика Лагранжа основывается на общей формуле, которую в наше время называют уравнением Даламбера - Лагранжа, или общим уравнением динамики. "Развитие этой формулы, если при этом принять во внимание условия, которые зависят от природы системы, дает все уравнения, необходимые для определения движения каждого тела, после этого нужно эти уравнения только интегрировать, что является уже задачей анализа".

Опираясь на свое общее уравнение динамики, Лагранж вывел дифференциальные уравнения движения в двух видах, соответствующие двум видам уравнений статики. Это известные уравнения движения Лагранжа первого и второго рода. Уравнения движения второго рода можно составить, зная общее выражение только для двух величин: кинетической энергии системы и ее потенциальной энергии. Количество этих уравнений минимальная, она равна числу степеней свободы системы. Вместе с тем уравнения Лагранжа очень общими; их можно использовать для различных физических систем, если состояние таких систем можно описать с помощью значений их кинетической и потенциальной энергий. Кроме того, уравнения движения в форме Лагранжа второго рода имеют определенную структуру с математической точки зрения. Поэтому задача их решения (интегрирования) в общем виде является достаточно определенным, чтобы исследовать его чисто математически.

В первые годы своей научной деятельности в связи с работами по вариационным исчислением, Лагранж много внимания уделял принципу наименьшего действия. Он формулирует этот принцип с полной определенностью как чисто механическую теорему, справедливую при определенных условиях. Эта формулировка приводит к уже знакомому записи: обращается в нуль вариация суммы величин вида

где - масса одной из точек системы,

V - ее скорость,

dS - элемент пути, или, иначе говоря, бесконечно малый отрезок траектории точки.

К этому Лагранж добавляет, что dS = V * dt, поэтому вместо можно написать или Здесь под знаком интеграла мы видим (удвоенную) живую силу точки, а так как нам нужно взять сумму таких величин для всей механической системы, которая рассматривается, то в итоге под знаком интеграла окажется (удвоенная) живая сила всей системы в любой момент. Таким образом, считает Лагранж, рассмотрен принцип сводится, собственно, к тому, что сумма живых сил всех тел с момента, когда они выходят из заданных точек, до того момента, когда они приходят в другие заданные точки, является максимумом или минимумом. Следовательно, этот принцип можно было бы с полным правом назвать принципом наибольшей или наименьшей живой силы. По мнению Лагранжа, такая формулировка должно то преимущество, что оно было бы общим как для движения, так и для равновесия.

Ирландский математик, механик и астроном В. Г. Гамильтон, оценивая вклад, сделанный Лагранжем в развитие механики после Галилея и Ньютона, писал: "Из всех последователей этих блестящих ученых Лагранж, пожалуй, больше, чем какой-либо другой аналитик, сделал для того , чтобы расширить и придать стройности подобным дедуктивных исследованиям, доказав, что самые последствия, касающиеся движения системы тел, можно вывести из одной основной формулы. При этом красота метода настолько соответствует достоинству результата, что эта большая работа превращается в своеобразную математическую поэму ". Этой поэмой завершился плодотворный период разработки основ теоретической механики. Механика становится зрелой, вполне сложившейся отраслью естествознания.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   След >