Развитие аналитической механики

Принцип Гамильтона

Руководствуясь идеей оптико-механической аналогии, видя ее прежде всего в единой математической форме законов движения лучей и материальных частиц, Уильям Роуан Гамильтон (1805-1865) использует в механике принцип наименьшего действия, применяя его для исследования конкретных явлений. Гамильтон исходил из того, что в условиях истинного движения тел величина, равная произведению энергии на время и называется у него "действием", должна иметь какое-то минимальное значение. Чуть позже Гамильтона и независимо от него принцип наименьшего действия развивает М.В.Остроградский, который распространил его на более широкий круг явлений. Этот принцип справедливо называется принципом Гамильтона - Острофадського. Он стал мощной математической оружием физики и широко используется в работах Максвелла, Гельмгольца, Условие, Эйнштейна, де Бройля, Шредингера и других ученых.

Перейдя к механике, Гамильтон показал значение своего нового вариационного принципа, а его характеристическая функция для задач механики («функция Гамильтона") оказалась тождественной энергии механической системы. Зная, как выражается функция Н через координаты и импульсы материальных точек, составляющих систему, можно сразу составить дифференциальные уравнения, определяющие координаты и импульс. Полученная система дифференциальных уравнений ("канонические уравнения") равносильна системе уравнений движения, в частности - системе уравнений Лагранжа второго рода, но имеет особые свойства, облегчающие ее исследования.

Наконец, Гамильтон связал свою каноническую систему дифференциальных уравнений первого порядка с соответствующим дифференциальным уравнением для частных производных, которое, как выяснилось, удовлетворяет его характеристическая функция Н. Возникла большая теория, благодаря которой была создана новая удобную форму уравнений движения, новый подход к проблеме их решения (интегрирования). Она осветила более полно и глубоко аналогии между механикой и оптикой, обнаружила новые возможности геометрической интерпретации, наконец, она привела к установлению связи между волновыми и корпускулярными представлениями - но последнее достаточно полно оказалось лишь через века.

Необходимо отметить, что описанную выше теорию Гамильтон еще не смог сформулировать в общем и законченном виде. Обобщение результатов и методов Гамильтона, устранения излишних ограничений, тщательная разработка математических методов является заслугой К. Г. Якоби и М. В. Остроградского.

К. Г. Якоби

Карл Густав Якоби (1804-1851) - один из самых известных немецких математиков и механиков первой половины XIX в. Основная работа Якоби по механике - его замечательные "Лекции по динамике". Эти лекции представляют собой развитие классической аналитической механики Лагранжа и содержат много новых идей как по математике (теория дифференциальных уравнений в частных производных, вычисления геодезических линий на эллипсоиде), так и по механике.

Исходным моментом исследований Якоби по механике является принцип Гамильтона-Остроградского. В своих "Лекциях" Якоби развил теорию канонических уравнений Гамильтона, существенно расширив класс механических систем, к которым она применялась. Важнейший результат К. Якоби - его теорема о том, что канонические уравнения являются уравнениями характеристик определенного дифференциального уравнения в частных производных первого порядка, то есть интегральные поверхности указанного уравнения в частных производных состоят из интегральных кривых системы канонических уравнений, определяющих движение механической системы. Тем самым интегрирования канонических уравнений сводится к определению полного интеграла уравнений в частных производных.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   След >