М.В.Остроградский обобщил метод Гамильтона-Якоби.

М.В.Остроградский

Михаилу Васильевичу Остроградскому (1801-1861) принадлежат первоклассные исследования из методов интегрирования уравнений аналитической механики и разработки обобщенных принципов статики и динамики. Наиболее известные исследования Петроградского касаются обобщения основных принципов и методов механики.

Он внес существенный вклад в развитие вариационных принципов, как частный случай включают и динамику. Остроградский, рассматривая вариационную задачу, в которой подынтегральная функция зависит от произвольного количества неизвестных функций и их производных как угодно высокого порядка, доказывает, что задача сводится к интегрированию канонических уравнений Гамильтона, которые можно рассматривать как форму, в которую можно превратить любые уравнения , возникающих в вариационной задачи. Он также показал, что и в более общем случае, когда связи силовая функция содержат время, уравнения движения также могут быть преобразованы в форму Гамильтона. Работы Остроградского по механике стали источником для дальнейших исследований с целью выяснения оснований вариационных принципов механики.

В 1866 г.. Остроградский выразил сомнение относительно справедливости принципа наименьшего действия Лагранжа. Основные возражения Остроградского сводятся к тому, что для Эйлера и Лагранжа принцип наименьшего действия и простейшая задача вариационного исчисления представляли собой одну и ту же математическую проблему. Остроградский же замечает, что в принципе наименьшего действия переменные связаны законом живых сил и поэтому не являются независимыми, в отличие от переменных обычной вариационной задачи. Отсюда следует также, что вариации переменных подчиняются определенному условию не могут быть совсем произвольными. Поэтому Остроградский считает формулировку принципа в Лагранжа и его выводы ошибочными и дает собственно формулировка: в случае консервативной системы истинная траектория движения между двумя точками имеет такое свойство, что преобразования уравнений движения приводит к условию:

где U - потенциальная функция,

Т - кинетическая энергия системы.

И, наоборот, с минимальности интеграла можно получить уравнения движения.

Принцип Остроградского, таким образом, отличается от принципа наименьшего действия Лагранжа, в котором экстремума достигает.

Вопрос о справедливости принципов Лагранжа и Гамильтон Остроградского вызвало оживленное обсуждение в математической литературе. М. И. Талызин (1819-1869) и Ф. А. Слудский (1841-1891) показали, что оба принципа - Лагранжа и Остроградского - одинаково справедливы: "Выражение начале наименьшего действия, которые дали эти ученые, суть выражение двух различных общих свойств движения ".

Немеханическое трактовки принципа наименьшего действия Гельмгольца

Переход от собственно механической интерпретации принципа Гамильтона к более общему его понимание, которое готовило почву для неклассической концепции, происходил в основном стихийно. Гельмгольц, который трактовал принцип наименьшего действия в исключительно механическом смысле, с 1886 г.. Систематически применял этот принцип к проблемам механики, термодинамики и электродинамики. Он ввел понятие кинетического потенциала, способствовало обобщению физической интерпретации принципа. Кинетический потенциал - это величина, с которой можно получить действие путем интегрирования по времени. Эта величина фигурировала в различных разделах физики без какой-либо механической интерпретации. В работах Гельмгольца кинетический потенциал трактовался не как производная величина - разница между кинетической и потенциальной энергией, а как исходная величина. Это было важным шагом для перехода к немеханического понимание принципа наименьшего действия, так как кинетический потенциал может отличаться от механического понятие разности T-U. Вне механикой, где различия между кинетической и потенциальной энергией теряет непосредственный смысл, кинетический потенциал нельзя получить аналогичным способом, если энергия является заданной величиной. Поэтому самостоятельный характер понятия кинетического потенциала позволяет сделать принцип наименьшего действия универсальным принципом физики обратных процессов, не сводя ее законы с законами механики; другими словами, это позволяет трактовать указанный принцип уже не как механический.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   След >