Энтропия и вероятность

В основе термодинамики лежит различие между двумя типами процессов - обратимыми и необратимыми.

Понятие энтропии позволяет отличать в случае изолированных систем обратимые процессы (энтропия максимальна и постоянна) от необратимых процессов (энтропия возрастает).

Благодаря работам великого австрийского физика Людвига Больцмана это различие было сведено с макроскопического уровня на микроскопический. Состояние макроскопического тела (системы), заданный с помощью макропараметров (измеряемых параметров с помощью макроприладив - давления, температуры, объема и других макроскопических величин, характеризующих систему в целом), называют макросостояние.

Если состояние макроскопического тела охарактеризованы столь подробно, что задано состояния всех молекул, которые образуют тело, то такое состояние называется микросостояние.

Всякий макросостояние может быть реализованным различными способами, каждому из которых соответствует определенный микросостояние системы. Количество различных микросостояний, соответствующих данному макросостояния, называется термодинамической вероятностью макросостояния W. Попробуем это выяснить.

Мы знаем, что весь окружающий мир состоит из молекул и атомов. Поместим в некий резервуар с теплоизолированы стенками некоторое количество газа, число молекул которого равна N. Выделим какую-нибудь одну молекулу. Предположим, что каким-то образом мы можем ее обозначить, скажем, покрасить в зеленый цвет. Если бы мы могли это сделать, то получили бы возможность отличить ее от других молекул и тем самым наблюдать ее движение в этом объеме. Наблюдая за этой молекулой, мы уже скоро убедимся, что она может находиться в резервуаре где угодно. Причем пребывания ее в любой момент в любой точке случайно.

Теперь разделим наш объем на две половины. Мы увидим, что наша молекула, беспорядочно блуждая, постоянно натыкаясь (сталкиваясь) на другие молекулы, пробудет в одной из половинок резервуара ровно половину времени, в течение которого мы за ней наблюдаем. В этом случае, как говорят, вероятность Ее пребывание в одной из половинок резервуара равен. Если мы будем наблюдать уже по двум мечеными молекулами, то вероятность того, что мы найдем сразу обе молекулы в одной из половинок сосуда, равна произведению вероятностей каждой молекулы. =. Аналогично для трех молекул эта вероятность равна, а для N молекул -. В 29 граммах воздуха, например, содержится количество молекул N, равна 6,023 •. Соответственно, вероятность нахождения сразу всех молекул в одной половине объема сосуда ничтожно мала. Такое событие маловероятно. Нам это и не кажется странным. Странным

было бы, если бы в одной комнате все молекулы воздуха вдруг в некоторый момент времени собрались бы в одной ее половине, а в другой половине оказался бы безвоздушное пространство. И если бы мы не успели или не догадались, что надо немедленно перепрыгнуть в нужную половину комнаты, то умерли бы от кислородного голодания. Мы знаем, что такое событие маловероятно. Вероятность же того, что все молекулы равномерно распределены по всему объему во всем объеме данного сосуда, максимальная и примерно равен единице. Это состояние может реализовываться огромным количеством способов. В этом случае термодинамическая вероятность, то есть количество способов, которыми может быть реализован это состояние, максимальна.

Пусть в некоторый момент времени нам удалось загнать все молекулы с помощью диафрагм (перегородок) в правую верхнюю часть сосуда. Другие объема сосуда оставались при этом пустыми. Далее заберем диафрагмы и увидим, что молекулы заполнят весь объем сосуда, то есть перейдут из состояния с меньшей вероятностью в состояние с большей вероятностью. То есть процессы в системе идут только в одном направлении: от некоторой структуры (порядка, когда все молекулы содержались в верхнем правом углу объема сосуда) до полной симметрии (хаоса, беспорядка, когда молекулы могут занимать любые точки пространства сосуда).

Больцман первым увидел связь между энтропией и вероятностью. При этом он понял, что энтропия должна выражаться через логарифм вероятности. Потому что если мы рассмотрим, скажем, две подсистемы одной системы, каждая из которых описывается термодинамической вероятностью соответственно и, то полная термодинамическая вероятность системы равна произведению термодинамических вероятностей подсистем:

в то время как энтропия системы S равна сумме энтропий подсистем:

Заметим, что

Больцман связал понятие энтропии S с InW В 1906 году Макс Планк предложил формулу, которая выражает основную мысль Больцмана об интерпретации энтропии как логарифма вероятности состояния системы:

Планк выполнил вычисления коэффициента пропорциональности k - он совпал с постоянной Больцмана. Формула "" выгравирована на памятнике Больцману на кладбище в Вене.

Идея Больцмана о вероятной поведение отдельных молекул продемонстрировала новый подход к описанию систем, состоящих из огромного количества частиц, впервые предложил Максвелл. Максвелл пришел к пониманию того, что в этих случаях физическая задача должна быть поставлена иначе, чем в механике Ньютона. Очевидно, что наш пример с мечеными молекулами сам по себе невозможен, потому что, в принципе, невозможно проследить в течение значительного периода времени за движением отдельной молекулы. Невозможно также определить точно координаты и скорости всех молекул макроскопического тела одновременно, в данный момент времени. Задачу следует сформулировать иначе, а именно: попытаться установить вероятность того, что данная молекула имеет определенное значение скорости. Максвелл ввел для описания случайного характера поведения молекул понятие вероятности, закон вероятности (статистический). Используя новый подход, Максвелл сформулировал закон распределения количества молекул газа по скоростям. Этот закон вызвал длительную дискуссию, которая длилась десятилетия до изготовления молекулярных насосов, позволили сделать экспериментальную проверку закона. У1878 году Больцман, как уже было отмечено выше, применил понятие вероятности, введенное Максвеллом, и доказал, что второй закон термодинамики также является следствием более глубоких статистических законов поведения большой совокупности частиц. Таким образом, с развитием статистической физики и термодинамики на смену причинным динамическим законам приходят статистические законы, позволяющие предсказать эволюцию природы не с абсолютной достоверностью, а лишь со значительной долей вероятности:

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   След >